Page 360 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2017 Sınav Sorularının Çözümleri 359

Yani, bu ¸sekilde toplam 3 · 2 · 2= 12 boyama yapılabilir.
2. En alt ve en üst satırda iki kare olma durumu :
En üst satırda iki kare (sa˘ g ve sol üst kö¸seler) boyalı ise, geriye kalan bir boyalı kare
için 4 seçim yapabiliriz. Bunlar, ikinci satırdaki orta kare ile, en alttaki tüm kareler
olacaktır. O halde, en üst satırda iki kare boyalı olacak ¸sekilde4, vebenzer ¸sekilde,
en alt satırda iki kare boyalı olacak ¸sekilde yine 4 boyama yapılabilir. Bu durumda,
toplam 4+4 = 8 boyama elde edilir.
3. Ortadaki satırda iki kare boyalı olması durumu :
Bu durumda, geriye kalan son boyalı kareyi iki yerden seçebiliriz : Ya, üstteki orta
kare, ya da alttaki orta kare. Buradan da, 2 boyama elde edilir.
Sonuç olarak, 12 +8+2 = 22 boyama yapılabilir.

1 1 1 1 1
7. A = + + + ··· + + ve
100 · 200 101 · 199 102 · 198 199 · 101 200 · 100
1 1 1 1 1
B = + + + ··· + +
100 101 102 199 200
olmak üzere, BA oranının bir tamsayı oldu˘ gu biliniyorsa, bu tamsayının rakam­
ları toplamı kaçtır?
Çözüm : ’deki terimleri ters sırada yazıp alt alta kendisiyle toplayalım :
1 1 1 1 1
 = + + + ··· + +
100 101 102 199 200
1 1 1 1 1
 = + + + ··· + +
200 199 198 101 100
e¸sitliklerinin toplamından,
300 300 300 300
2 = + + ··· + +
100 · 200 101 · 199 199 · 101 200 · 100
olur ki, buradan  = 150 elde edilir. Yanıt : 6.

8. Her x> 0 sayısı için, x −ax +16 ≥ 0 e¸sitsizliginin sa˘ glanmasını garanti
3
eden a sayılarının bulundu˘ gu en geni¸saralı˘ gı bulunuz?
Çözüm : Verilen e¸sitsizlikten,
3
 +16 2 16
 ≤ =  +
 
yazılabilir. AGO e¸sitsizli˘ ginden,
r
16 2 8 8 3 8 8
2
 + =  + + ≥ 3  2 =3 · 4=12
    
3
8  +16
2
olur. E¸sitlik durumu  = iken, yani  =2 oldugunda sa˘ glanır. Böylece,
 
fonksiyonunun, (0 ∞) aralı˘ gındaki en küçük de˘ geri 12’dir. O halde,  parametresinin
alabilece˘ gi en küçük de˘ ger 12 olup, söz konusu aralık (−∞ 12] elde edilir.