Page 361 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

360 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

9. ABC üçgeninin [AC] kenarı üzerinde bir D noktası alınmı¸stır. |AB| =
◦ ◦
|DC| =3 ve ∠ABD =90 ; ∠DBC =30 oldugu biliniyorsa, |AD||BC|
çarpımı kaçtır?
Çözüm : || =  ve
|| =  diyelim. Buna göre,
3
sin ∠ =

olur. 4 üçgenine sinüs teo­
remi uygulanırsa,
sin 30 ◦ sin ∠ sin ∠ 3
= = =
3   
1 3
e¸sitli˘ ginden, = ⇒  =18 elde edilir.
6 
√
2
2
10. x, y, z reel sayıları, x + y + z =7 2 ve x +y +z =38 e¸sitliklerini
2
sa˘ glıyorlarsa, xy çarpımının maksimum de˘ geri kaç olur?
Çözüm :  +  +  =( +  + ) − 2( +  + ) e¸sitli˘ gi kullanılırsa,
2
2
2
2
98 − 38
 +  +  = =30
2
olur.  ifadesinin maksimum de˘ geri arandı˘ gından, her iki çarpanın i¸sareti aynı ol­
√
malıdır.  0 ve  0 olamaz. Çünkü, aksi halde,  7 2 ⇒   98 olur ve
2
1 2
ikinci denklem saglanmaz. Böylece,  0 ve  0 olmak üzere,  ≤ ( + )
4
e¸sitsizli˘ gi kullanılırsa,
√
30 =  +( + )(7 2 −  − )
√
1 2 4( + )(7 2 −  − )
≤ ( + ) +
4 4
 +  ³ √ ´
= 28 2 − 3( + )
4
olur.  +  =  denilirse, yukarıdaki e¸sitsizlikten
√
2
3 +28 2 − 120 ≥ 0
ve buradan da,
√ √
(−3 +10 2)( − 6 2) ≥ 0
√ √
elde edilir. Buna göre,  ≤ 6 2,yani  +  ≤ 6 2 olur. O halde,
√ √
2  ≤  +  ≤ 6 2 ⇒  ≤ 18
bulunur.
√ √
Not :  =  =3 2 ve  = 2 alınırsa, denklemler saglanır ve  =18 olur.