Page 362 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2017 Sınav Sorularının Çözümleri 361

2
11. x +x y −8x +6 ≤ 0 e¸sitsizligini sa˘ glayan kaç (x, y) tamsayı ikilisi
2
4
2
vardır?
2
2
2 2
Çözüm : Verilen e¸sitsizli˘ gi,   +( − 4) ≤ 10 ¸seklinde yazabiliriz.  =0
olamayaca˘ gı açıktır. O halde,  tamsayı oldu˘ guna göre,  ≥ 1 elde edilir.
2
2 2
2
 ≤   ≤ 10
2
2
e¸sitsizli˘ ginden,  = 0;1;4;9 durumları incelenmelidir.  =9 durumunda,
4
2
 +  +6 ≤ 0
olamayaca˘ gı açıktır. Aynı ¸sekilde,  =4 durumunda,
2
¡
2
4
2
 − 4 +6 =  − 2 ¢ 2 +2 ≤ 0
olamayaca˘ gı görülür. O halde,  =0 veya  =1 durumlarını inceleyelim.
2
2
√ √ √ √
2 2 2 2
i)  =0 ise( −4) ≤ 10 ⇒− 10 ≤  −4 ≤ 10 ⇒ 4− 10 ≤  ≤ 4+ 10
olur ve  ∈ Z oldu˘ gundan,  =1; 4 ⇒  = ±1; ±2 elde edilir. Buradan, 4 tane
2
( ) ikilisi bulunur.
2
2
4
2
2
2
2
ii)  = ±1 ise,  +( − 4) ≤ 10 ⇒  − 7 +6 ≤ 0 ⇒ ( − 1)( − 6) ≤ 0
e¸sitsizli˘ ginden, 1 ≤  ≤ 6 olur. Yani,  =1; 4 ⇒  = ±1; ±2 olabilir. Buradan
2
2
da, 8 tane ( ) ikilisi bulunur.
O halde, istenen ¸sekilde 12 tane ( ) ikilisi vardır.
√ √ √ √
12. A = (2 · 5+ 2) (3 · 6+ 2) ··· (97 · 100+ 2)(98 · 101+ 2) ve
B = (3 · 3 − 2)(4 · 4 − 2) ··· (98 · 98 − 2)(99 · 99 − 2) olsun. a ve b tam­
√
A a− 2
sayılar olmak üzere, = √ e¸sitli˘ gi varsa, a − b farkı kaçtır?
B b− 2
Çözüm :  sayısında
√ ³ √ ´
 ·  − 2=( − 2)  + 2
oldu˘ gu görülür. Buna göre,  saysıının terimlerini de,
√ √ ³ √ ´
 ( +3)+ 2=( − 2)  + 2
olacak ¸sekilde çarpanlara ayırmaya çalı¸salım. Bu e¸sitli˘ gin sa˘ glanması için,
√ √
2
 +3 + 2=( − 2) + ( − ) 2
oldugundan,
2
 −  =1 ve  =  +3 +2 = ( +2) ( +1)
e¸sitlikleri sa˘ glanmalıdır. Buradan,  =  +2 ve  =  +1 oldu˘ gu görülebilir. Yani,
√ √ √
 ( +3)+ 2= ( +1+ 2)( +2 − 2)
¸ seklinde yazılabilir.