Page 363 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

362 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

Böylece,
√ √ √ √ √ √ √
 (3 + 2)(4 − 2)(4 + 2)(5 − 2) ·· · (99 + 2)(100 − 2) 100 − 2
= √ √ √ √ √ √ = √
 (3 − 2)(3 + 2)(4 − 2)(4 + 2) ·· · (99 − 2)((99 + 2) 3 − 2
elde edilir. O halde,  −  = 100 − 3= 97 elde edilir.
√
  − 2
Not : = √ gösteriminde  −  farkı tek türlü bulunur.
  − 2

13. x ∈ [−1, 3] \ {0} olmak üzere,
µ ¶
1 |y|
x 1+ = y−
|x| y
denklemini saglayan (x, y) noktaları içinde, aralarındaki uzaklık en büyük olan
iki nokta arasındaki uzaklı˘ gı bulunuz.

|| ||
Çözüm : − = + e¸sitli˘ ginde,
 
 0 ve  0 olursa,
 =  +2;
 0 ve  0 olursa,
 =  − 2
olur.  ve  ters i¸saretli olursa, − =
0 yani  =  çeli¸skisi elde edilir.
Buna göre, yandaki grafik çizilebilir.
Sonuç olarak,  ve  noktaları arasın­
daki uzaklık,
q √
2
2
|| = (3 + 1) +(5+3) =4 5 olarak bulunur.

1 y 2 2y
14. 1 ≤ z ≤ 20 olmak üzere, = = denklem sisteminin,
x z − x +1 z +1
tam sayılarda kaç (x, y, z) çözüm üçlüsü vardır?
Çözüm : Verilen denklem sistemini,
1  2
= =
  −  +1  +1
¸ seklinde yazalım. Son e¸sitlikten sırasıyla,
 +  =2 − 2 +2
(2 − )+ (2 − ) − 2 =0
(2 − )( +1) = 2