Page 364 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2017 Sınav Sorularının Çözümleri 363

elde edilir ki, buradan  =1 bulunur. O halde, sistemde  =1 yazılırsa,
1 2
=
  +1
 +1
e¸sitliginden,  = olur. Buna göre, 1 ≤  ≤ 20 durumundaki tam sayı
2
çözümler,

 =1 3 5  17 19
iken elde edilir. Her  degeri için, bir  degeri bulunaca˘ gından, toplam 10 tane
(  ) tamsayı üçlüsü bulunur.

15. Koordinat düzleminde,  0 =(0 0) 1 =(0 2)  2 =(2 0) 3 =(−2 −2)
 4 =(1 1) noktaları veriliyor. Bu koordinat düzleminde bir  bölgesi seçiliyor.
Öyle ki, bu bölgedeki herhangi bir noktanın orijinden (yani  0 ’dan) uzaklı˘ gı,   
 =1 2 3 4 noktalarına uzaklıgından küçük veya e¸sittir. Buna göre, bu bölgenin
2
alanı kaç br dir.
˙
Çözüm : Istenen bölgedeki herhangi bir nokta· ( ) olsun, Buna göre,
| 0 | ≤ min |  |
1≤≤4
olmasını istiyoruz. Buradan istenen bölge
⎧ 2 2 2 2 ⎧
 +  ≤  +( − 2)  ≤ 1
⎪ ⎪
⎪ 2 ⎪
 +  ≤ ( − 2) +   ≤ 1
⎨ 2 2 2 ⎨
2
2
2
⎪  +  ≤ ( +2) +( +2) 2 ⇔ ⎪ −2 ≤  + 
⎪ ⎪
⎩ 2 2 2 2 ⎩
 +  ≤ ( − 1) +( − 1)  +  ≤ 1
e¸sitsizlikleriyle belirlidir. Bu bölgeyi a¸sagıdaki gibi çizebiliriz.

Bu bölge ikizkenar yamuktur ve alanı iki dik üçgen ile iki e¸sdik yamu˘ gun alanları
toplamıdır. Yanıt : 7,5.