Page 365 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

364 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

16. ¸Sekilde,  k ,  k ,
 k  ve  k  olmak üzere,

||
= 
||
2
ise, (2 − 1) sayısı kaçtır?
Çözüm : Verilenlerden, ,
 ve  bir paralelkenardır.
O halde, Thales teoreminden,
||
 =
||
ve
|| || || ||
 = = = =
|| || || ||
|| + || || + || || || 1
= = =1 + =1 + =1 +
|| || || || 
olur. Buradan,
1 2
 − 1= ⇔  −  − 1=0

√
1+ 5 2
olur ki, bu denklemden  = ve (2 − 1) =5 elde edilir.
2
17. n> 12 olmak üzere, n tam sayısı n +6 sayısının iki pozitif böleninin
toplamına e¸sittir. n kaç farklı de˘ ger alabilir?
Çözüm :  ≤  ve  +  =  olmak üzere, ( +6)’nın   tam bölenlerini alalım.
 +6
 ≤ olursa,
3
 +6  − 12
 =  +  ≤ 2 · =  − 
3 3
 +6
çeli¸skisi elde edilir ki, buradan  = bulunur. O halde,
2
 +6  − 6
 =  −  =  − =
2 2
sayısı, ( +6)’nın bölenidir. Yani,
 +6 2 +12 24
= =2 +
−6  − 6  − 6
2
tam sayıdır.  12 oldu˘ gunda,  − 6 = 8; 12; 24 yani  =14 18 30 olabilir.