Page 366 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 366
2017 Sınav Sorularının Çözümleri 365
˙
18. Iki oyuncu sırayla, her hamlesinde bir hane olmak üzere,· m × n boyutlu bir
tablonun hanelerini boyuyorlar. Boyanmı¸s olan bir haneyle tam bir ortak kö¸sesi
bulunan haneleri boyamak yasaktır (boyanmı¸s bir haneyle ortak kenara sahip
olan hane boyanabilir). Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun,
12 × 13 12 × 14 13 × 14 13 × 15 ve 14 × 15
boyutlu tablolarda birer kez oynanırsa, ilk hamleyi yapan oyuncu bu oyunlardan
kaçını kazanmayı garanti edebilir?
Çözüm : ve tekse (yani, 13×15 durumunda) birinci ki¸si ilk hamlede tam ortadaki
haneyi boyuyor, sonra da her hamlesinde ikinci ki¸sinin en son boyadı˘ gı hanenin, tablo
nun merkezine göre simetri˘ gindeki haneyi boyuyor. Bu durumda, sırası geldi˘ ginde
hamle yapamayan ki¸si, ikinci ki¸si olacak ve dolayısıyla, ilk hamleyi yapan oyuncu
kazanacaktır. ve sayılarının en az biri çiftse, dikdörtgenin en az bir simetri
˙
do˘ grusu vardır. Ikinci ki¸si her hamlesinde birinci ki¸sinin son boyadı˘ gı hanenin bu
do˘ gruya göre simetri˘ gindeki haneyi boyuyor. Bu durumda, sırası geldiginde hamle
yapamayan ki¸si birinci ki¸si oluyor. Böylece, birinci ki¸si, sadece 13 × 15 durumunda
kazanır.
19. Pozitif terimli a 0 ,a ,a , ... dizisi, a 0 =1 olmak üzere,
2
1
1 1 1 1
a 1 = ve her k ≥ 2 için, a = + + ··· +
a 0 +a 1 a 0 +a 1 a 1 +a 2 a −1 +a
biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ba 99 c tamde˘ geri kaçtır?
Çözüm : Verilen e¸sitli˘ ge göre, − −1 farkını hesaplayalım. Buna göre,
1 1 1
= + + ··· +
0 + 1 1 + 2 −1 +
1 1 1
−1 = + + ··· +
0 + 1 1 + 2 −2 + −1
e¸sitlikleri taraf tarafa çıkarılırsa,
1 2 2
− −1 = ⇒ − −1 =1
−1 +
olur. Buradan,
¡
¡
¡
¡
2
2 99 = 2 99 − 2 98 ¢ + 2 98 − 2 97 ¢ + 2 97 − 2 96 ¢ + ·· · + − 2 1 ¢ + 2 1
2
2
¸ seklinde yazılabilece˘ ginden, 2 99 =98 + olur. Di˘ ger taraftan,
1
1
1 =
1+ 1
√
5 − 1
e¸sitli˘ ginden, 1 = bulunur ki, buradan da
2
98 2 99 99
olaca˘ gından, b 99 c =9 elde edilir.
