Page 367 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

366 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

∞
X a  +2
20. a 1 =9 ve n ≥ 1 için, a +1 = a  (a +5) + 4 olsun.
 a +1 +2
=1
toplamının de˘ geri kaçtır?
Çözüm :  +1 +2 =  +5  +6 = (  +2)(  +3) e¸sitliginden,
2

1 1 1
= −
 +1 +2   +2   +3
ve
∞ ∞ µ ¶
X 1 X 1 1 1 1
= − = =
  +3   +2  +1 +2  1 +2 11
=1 =1
elde edilir. Diger yandan,
1   +2
=
  +3  +1 +2
1
oldu˘ gundan,istenen toplanın de˘ geri  = bulunur.
11
21.  dar açılı üçgeninde,  yüksekliklerin kesi¸sme noktası,  ise []ke­
narının orta noktasıdır.  do˘ grusu üzerinde, || = || olacak ¸sekilde bir
 noktası alınıyor. ∠ =30 ve || =1 br ise, || uzunlu˘ gu kaç birimdir?
◦
Çözüm : || = || oldugundan, 
noktası,  noktasına göre  noktasının
simetri noktasıdır. Di˘ ger taraftan,  nok­
tası [] kenarının orta noktası oldugun­
dan,  noktası da,  noktasına göre
 noktasının simetrigidir. Bir do˘ grunun
bir noktaya göre simetri˘ gi bu do˘ gruya
paralel bir do˘ gru olaca˘ gından,  k 
olur. Fakat,  noktası, üçgenin yüksek­
liklerinin kesi¸sme noktası oldugundan,
 ⊥ , ve dolayısıyla  ⊥ 
elde edilir. Buna göre, ∠ =90 ve
◦
benzer ¸sekilde ∠ =90 olacaktır.
◦
Ohalde,  ve  noktaları, [] çaplı
bir çember üzerindedir. Ba¸ska bir deyi¸sle, [] çaplı çember,  , noktalarından
geçer.  üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapına  denirse, || =2 olur. O
sin  1
halde, || =  olmak üzere, = formülünden,
 2

2 = =2 · 1=2
sin 30 ◦
ve dolayısıyla || =2 bulunur.