Page 368 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2017 Sınav Sorularının Çözümleri 367

22. A = {0, 1, 2, 3, ..., 19} kümesinin bo¸s olmayan bir K altkümesi,
"Her n ∈ K için, K kümesinin n elemanlı altkümesi bulunabilir."
ko¸sulunu sa˘ glıyorsa, K altkümesine Altın altküme diyelim. Buna göre, A kümesinin
kaç Altın altkümesi vardır?
Çözüm :  kümesindeki en büyük eleman  olsun.
 =0 ise,  = {0} olabilir.
 =1 ise,  = {1} ve  = {0 1} olabilir.
 =2 ise,  = {2 1 0} ; {2 1} ; {2 0} olabilir.

·· ·
 =  ise,  = {0 1 2  } ; {1 2  } ; {0 2 3  } ; {0 1 3  } ; 
; {0 1 2 3   − 2} kümeleri olabilir ki, bunların sayısı  +1 tanedir.
Ohalde,  = {1 2 3  19} kümesinin altın altküme sayısı :
20 · 21
1+2+3+ ·· · +20 = = 210
2
olur.

23.  üçgeninin []ve[] kenarlarında, sırasıyla,  ve  noktaları
alınıyor. O noktası,  üçgeninin içte˘ get çemberinin merkezi olmak üzere,
2 2
||·|| = || ve ||·|| = ||
e¸sitlikleri sa˘ glanıyor.    noktaları do˘ grusal ise, üçgenin  kö¸sesindeki iç
açısının ölçüsü 30  45  60  75 ve 90 de˘ gerlerinden kaç tanesi olabilir?
◦
◦
◦
◦
◦
2
Çözüm : ||·|| = || e¸sitli˘ ginden,
|| ||
=
|| ||
yazılabilir. Di˘ ger taraftan,
∠ = ∠
oldu˘ gundan, KAK benzerli˘ ginden,
4 ∼ 4
olacaktır. Buradan,

∠
∠ = ∠ =
2
elde edilir.