Page 369 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

368 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

Benzer ¸sekilde,
2
||·|| = ||
e¸sitli˘ ginden,
4 ∼ 4
∠
benzer üçgenleri elde edilir ve ∠ = ∠ = bulunur. 4 üçgenin­
2
den,
µ ¶
∠ ∠
∠ = 180 − +
◦
2 2
∠
=90 +
◦
2
e¸sitli˘ gi elde edilir.    do˘ grusal oldu˘ gundan, ∠ = 180 olacaktır. Buna
◦
göre,
180 ◦ = ∠
= ∠ + ∠ + ∠
∠ ∠ ∠
= +90 + +
◦
2 2 2
e¸sitli˘ ginden, ∠ =60 elde edilir.
◦
24. Sekiz elemanlı  = {2 3  9} kümesinin, 4 tane ikili altkümeye parçalanı¸s­
larını ele alalım. Bir parçalanı¸s içinde, en büyük ortak bölenleri 2 olan herhangi
bir ikili altküme yoksa, bu parçalanı¸sa "iyi parçalanı¸s" diyelim. Örnegin,

 1 = {{2 9} ; {3 4} ; {5 7} ; {4 6}} ve  2 = {{4 8} ; {2 3} ; {5 6} ; {9 7}}
parçalanı¸sları ele alınırsa,  2 iyi bir parçalanı¸stır. {4 6} altkümesinden dolayı,
 1 ise iyi parçalanı¸s degildir. Buna göre,  kümesinin kaç iyi parçalanı¸sı vardır?
Çözüm : {2 4 6 8} kümesinden, {3 5 7 9} kümesine 4! = 24 birebir fonksiyon bu­
lunabilir. Her fonksiyon bize, en büyük ortak bölenleri 2 olmayan ikili altkümelerden
olu¸san bir parçalanı¸s verecektir. Örnegin,
µ ¶
24 68
 =
75 93
birebir fonksiyonu {{2 7} ; {4 5} ; {6 9} ; {8 3}} iyi parçalanı¸sını verir. Di˘ ger taraf­
tan, en büyük ortak bölenin 2 olmasını istemedigimiz için, 4 ve 8 de bir aradabu­
lunabilir. Bu durumda, 2 ve 6 sayıları da, {3 5 7 9} sayılarından herhangi biri ile
e¸sle¸smelidir. Buna göre, {4 8} kümesini içeren parçalanı¸sların sayısı 4 · 3=12
olacaktır. Böylece, istenen ¸sekilde, 24 + 12 = 36 parçalanı¸s bulunabilir.