Page 372 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2018 Sınav Sorularının Çözümleri 371

11
5
3. x = 1111 · 10  y = 77777 · 10 ve z = 111111 ise,
r
3 x + y + z
3
tamsayısının rakamları toplamı kaçtır?
Çözüm : Verilen sayıları öncelikle, 10’un kuvvetlerine ba˘ glı olarak yazalım.
4
9999 10 − 1
1111 = = 
9 9
5
10 − 1
77777 = 7 ·
9
6
10 − 1
111111 =
9
oldu˘ gundan, verilen üç sayının aritmetik ortalaması
¡ 4 ¢ 11 ¡ 5 ¢ 5 6
10 − 1 · 10 +7 10 − 1 10 +10 − 1
 =
3 3
5
5
10 15 − 10 · 10 10 +7 · 10 10 − 7 · 10 +10 · 10 − 1
=
3 3
5
10 15 − 3 · 10 10 +3 · 10 − 1
=
3 3
¡ 5 ¢ 3
10 − 1
=
3 3
= 33333 3
oldu˘ gundan,
r
3  +  + 
= 33333
3
bulunur.
4. x ve y pozitif tamsayılar olmak üzere,
x − y = 9 ve OKEK (x, y)= 10098
oldu˘ guna göre, x + y kaçtır?
2
Çözüm :  −  =9 ve  ( ) = 10098 = 3 (2 · 3 · 11 · 17) oldu˘ gu dikkate
alınırsa,
2
 −  =3 (2 · 17 − 3 · 11)
yazılabilir. Buradan da,
2
2
 =3 · 2 · 17 = 306 ve  =3 · 3 · 11 = 297
bulunur. Buna göre, x + y = 306 + 297 = 603 bulunur.