Page 373 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

372 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

5. Pozitif bölenlerinin çarpımı 12 90 olan sayının, poizitif bölenlerinin toplamı
kaçtır?
Çözüm : 12 = 2 3 oldu˘ gundan, söz konusu pozitif sayı,
2
 
 =2 3
formunda olacaktır.  sayısının pozitif bölenlerinin çarpımı, pozitif bölen sayısı  ()
olmak üzere,
 ()2

ile bulunur. Buna göre, pozitif bölenlerin çarpımı  (+1)(+1)2 olacaktır. Yani,
3
12 90 =2 180 · 3 90 =2 (+1)(+1)2 (+1)(+1)2
olması gerekir ki, buradan
 ( +1) ( + 1) = 360
 ( +1) ( + 1) = 180
olur. Taraf tarafa bölersek,  =2 bulunur. O halde,

 (2 +1) ( + 1) = 180
elde edilir. Bu e¸sitli˘ gi sa˘ glayan tek  pozitif tamsayı de˘ geri,  =4 ’tür. Bu durumda,
 =8 olur. Yani,  =12 bulunur. Pozitif bölenlerinin toplamı da :
4
5
9
2 − 1 3 − 1
· = 61831
2 − 1 3 − 1
bulunur.
6. Alanı 50 br 2 den büyük olan dikdört­
gen ¸seklindeki bölge, hepsinin kenar uzun­
lu˘ gu 1 br olan kare ¸seklindeki parkelerle
dö¸senmi¸stir. Bölgenin sınırlarına siyah renkli
kareler ve içine de beyaz renkli kareler kul­
lanılmı¸stır. Siyah ve beyaz karelerin sayısı e¸sit ise, dikdörtgen bölgenin alanı kaç
birim karedir?
Çözüm : Beyaz dikdörtgenin kenar uzunlukları,  olmak üzere,  ve  olsun.
Verilenlere göre,  =( +2) ( +2) −  sa˘ glanmalıdır. Buradan,

 − 2 − 2 =4 ⇔ ( − 2) ( − 2) = 8
elde edilir.  iken bu denklemin tamsayılarda çözümler,  =3 =10 veya
 =4 =6’dır.
( +2) ( +2)  50
ko¸sulundan,  =3 ve  =10 bulunur. O halde, verilen dikdörtgenin alanı :
(3 +2) (10 +2) = 60 olur.