Page 374 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2018 Sınav Sorularının Çözümleri 373

7. Gökberk ve Tu˘ gberk, 52! sayısının pozitif bölenlerinden rastgele birer tane
seçip, seçtikleri bu iki pozitif böleni topluyorlar. Bu toplamın çift sayıolma
olasılı˘ gı kaçtır?
Çözüm : 52! sayısının,
¹ º ¹ º ¹ º ¹ º ¹ º
52 52 52 52 52
+ + + + =49
2 4 8 16 32
tane 2 çarpanı vardır. O halde, 52! sayısının herhangi bir pozitif böleninde, 2’nin
kuvveti 0 1 2  49 olabilir. Yani, 50 farklı de˘ ger alabilir. Bu durumların sadece
bir tanesinde, yani, üs sıfır iken bölen tek sayı olabilir. Di˘ ger yandan, toplamın çift
olması için, Gökberk ve Tu˘ gberk’in her ikisi de tek veya her ikisi de çift bölen seçmi¸s
olmalıdır. Buna göre istenen olasılık
1 1 49 49 1201
· + · =
50 50 50 50 1250
bulunur.
2
n +3
8. a  = genel terimiyle verilen a  dizisi için,
n +n − 3
2
K = {a  : i ∈ [1, 2018]}
kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Çözüm :   =   e¸sitli˘ gini sa˘ glayan  6=  ve   ∈ [1 2018] indislerini bulalım.
Bunun için,
2
2
 +3  +3
=
2
2
 +  − 3  +  − 3
e¸sitli˘ ginden,
( − )( − 6 − 6 − 3) = 0
 − 6 − 6 +36 = 39
( − 6) ( − 6) = 39 = 1 · 3 · 13
elde edilir ki, buradan,

 − 6=1 ⇒  =7 ⇒  =45
 − 6=3 ⇒  =9 ⇒  =19
elde edilir. Yani, verilen dizinin birbirine e¸sit olan terimleri sadece
ve
 7 =  45  9 =  19
terimleridir. O halde,  () = 2016 bulunur.