Page 376 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2018 Sınav Sorularının Çözümleri 375

y
A ıı Çözüm :  =( ) noktasının ’e göre
y=x simetri˘ gi  =( −) noktasıdır. Yine, 
0
noktasının  =  do˘ grusuna göre simetri˘ gi,
 =( ) noktasıdır. ¸Sekilden,
00
B A | | = || ve | | = ||
00
0
olur. Yani,
0 00
||+||+|| = | |+||+| |
x
O C sa˘ glanır. Buradan, söz konusu üçgenlerin
0
çevre uzunluklarının en küçü˘ gü,  ile  00
A ı arasındaki mesafedir. Yani,
q
2 2 p 2 2
6= ( − ) +( + ) = 2( +  )
2
olur. Bu e¸sitlikten,  +  =18 bulunur.
2
12. Bir ABCD dörtyüzlüsünün kenarlarının uzunlukları küçükten büyü˘ ge 8,
12, 19, 26, 35 ve 40 olarak verilmi¸stir. |AB| =40 oldu˘ gu bilindi˘ gine göre,
|CD| uzunlu˘ gu kaçtır?

Çözüm : Üçgen e¸sitsizli˘ gine göre, D
|| + ||  40
|| + ||  40 C
olmalıdır. Buna göre, {||  ||} ve
{||  ||} ikililerinden biri {19 26}
olmalı, di˘ geri ise 35 uzunlu˘ gundaki kenarı A
içermelidir. Buna göre, || =26 ve B
|| =19 ise, || uzunlu˘ gu 35 olamaz. Çünkü, || =35 olursa,

||  || + || ⇒ 35  19 + ||
e¸sitsizli˘ gine göre, ||  16 olur ki, verilen kenar uzunlukları göz önüne alınırsa bu
mümkün de˘ gildir. O halde, || =35 || =8 ve || =12 elde edilir. Benzer
¸ sekilde, e˘ ger, || =19 ve || =26 ise, bu kez || uzunlu˘ gu 35 olamaz. Çünkü,
|| =35 olursa,
||  || + || ⇒ 35  19 + ||
e¸sitsizli˘ gine göre, ||  16 olur ki, verilen kenar uzunlukları göz önüne alınırsa bu
mümkün de˘ gildir. O halde, || =8 || =35 ve || =12 bulunur. Not :
|| =26, || =19 ve || =35 || =8 ve || =12
|| =19, || =26 ve || =8 || =35 ve || =12
durumları da mümkündür.