Page 375 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

374 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

9. p, q ve r asal sayıları, p + q = (p − q + r) r e¸sitli˘ gini ve p + q< 123 e¸sit­
sizli˘ gini sa˘ glıyorlar. Buna göre, pqr çarpımının en büyük de˘ gerinin rakamları
toplamı kaçtır?
Çözüm : ( + ) ve ( − ) sayıları aynı anda tek veya çift olabilir. O halde,
 +  =( −  + ) 
e¸sitli˘ ginden,  çift sayı olmalıdır. Yani,  =2’dir. Buna göre, denklem  =3 − 4
olur.  +  123 ko¸sulu kullanılırsa,

4 − 4=  +  123
e¸sitsizli˘ ginden,

127
  32
4
yani,  ≤ 31 elde edilir.  =31 için,  =3 · 31 − 4=89 bulunur. Böylece, 
çarpımının en büyük de˘ geri : 89 · 31 · 2 = 5518 olur ki, rakamları toplamı 19’dur.

10. a< b< c sayıları, x −3x + (2 − m) x + m =0 denkleminin kökleri
2
3
¡ 2 ¢ 2
2
olsun. a −4a − c ifadesinin de˘ geri kaçtır?
Çözüm :  =1 sayısının denklemi sa˘ gladı˘ gı görülür. O halde, verilen denklem,
¡ 2 ¢
( − 1)  − 2 −  =0
¸ seklinde yazılabilir. Vieta formülüne göre,
2
 − 2 − 2 =0
denkleminin kökleri toplamı 2 olup,  ko¸sulu da dikkate alınırsa,  =1
 1  1 ve  +  =2’dir. Buna göre,
2
2
 − 4 −  =( + )( − ) − 4 =2 ( − ) − 4 = −2( + )= −4
olur. Yanıt 16’dır.

11. a>b> 0 sayıları verilsin. Bir y
kö¸sesi y = x x> 0 ı¸sını üzerinde, y=x
ikinci kö¸sesi Ox ekseni üzerinde ve
üçüncü kö¸sesi de, koordinatları (a, b)
olan A noktasında bulunan üçgenler B
içinde çevre uzunlu˘ gu en küçük olanın A
2
çerre uzunlu˘ gu 6 br ise, a +b toplamı
2
kaçtır?
x
O C