Page 377 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

376 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

13. 3 × 3 boyutlu tablonun hanelerine 1’den 9’a kadar tamsayılar,
ardı¸sık sayılar, kom¸su (ortak kenarı bulunan) hanelerde bulunacak
¸ sekilde kaç de˘ gi¸sik biçimde yazılabilir.

Çözüm : Tabloyu ¸sekildeki gibi, satranç tahtası ¸seklinde boyayalım.
Siyahların sayısı 5 ve beyazların sayısı 4 oldu˘ gundan, tek sayılar siyah kutulara, çift
sayılar da beyaz kutulara yazılmalıdır. Aksi halde, ardı¸sık sayılar kom¸su hanelerde
olacak ¸sekilde bir yazılı¸s mümkün olmaz. Tek sayılar siyah kutulara yerle¸stirildikten
sonra, beyaz kutulara çift sayılar tek türlü yerle¸stirilebilir.
Öncelikle, ba¸slangıç sayımız olarak 1’i yerle¸stirelim. Bunu
5farklı ¸sekilde yapabiliriz. Daha sonra da, biti¸ssayımız olan
9’u yazalım. Bunu da 4 farklı ¸sekilde yazabiliriz. Geriye,
3,5,7 sayılar kaldı. Bu üç sayının da, geri kalan 3 siyah
kareye 2 farklı ¸sekilde yerle¸stirilece˘ gi kolayca görülebilir.
A¸sa˘ gıda, bazı örnekler verilmi¸stir.
Buna göre, istenen ¸sekilde 5 · 4 · 2 = 40 yazılı¸s
vardır.

3 4 5 7 6 5 3 2 1 7 6 1
2 1 6 8 1 4 4 5 6 8 5 2

9 8 7 9 2 3 9 8 7 9 4 3
2
1ortada ­ 9 Sol altkö¸sede 1Sa˘ güst kö¸sede ­ 9 Sol alt kö¸sede

1 8 7 1 2 3
2 9 6 8 9 4
3 4 5 7 6 5

1 sol üst kö¸sede ­ 9 ortada

14. 51, 52, 53, ..., 104 sayılarının en büyük tek sayı bölenlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm :  sayısının en büyük tek sayı bölenini  () ile gösterelim. Buna göre,

 (51) = 51   (53) = 13
olacaktır. 53 ≤   ≤ 104 e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan bir  ve  için,  ()=  ()
olursa,   olmak üzere,


 =2 ·  ()  =2 ·  ()