Page 378 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2018 Sınav Sorularının Çözümleri 377

yazılabilece˘ ginden,


  −
 =2 ·  ()= 2 ·  =2 · 
2
olur ki, buradan da  ≥ 2 olması gerekir. 53 ≤   ≤ 104 için, bu mümkün
de˘ gildir. Dolayısıyla,  ()’in alabilece˘ gi de˘ gerler tam 52 tane, yani ’lerin sayısı
kadardır. O halde,

{ (53)  (54)  (55)    (104)} = {1 3 5  103}
olacaktır. Buna göre,
104
X 2
 () = 51 +13+(1 +3+5+ ·· · + 103) = 64 + 52 = 2768
=51
elde edilir.

15. {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin bo¸s kümeden farklı her A altkümesinin en büyük
elemanı ile en küçük elemanının farkına "A kümesinin boyu" diyelim. Buna
göre, {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin bo¸s kümeden farklı tüm altkümelerinin boyları
toplamı kaçtır?
Çözüm : Herhangi bir  elemanı, 2 −1 altkümede en büyük eleman, 2 6− kümede
ise en küçük elemandır. Buna göre, istenen de˘ ger,
6
X −1 6− 5 1 4 2 3
(2 − 2 )= 1(1 − 2 )+ 2(2 − 2 )+ 3(2 − 2 )
=1
1
5
3
4
2
+4(2 − 2 )+ 5(2 − 2 )+ 6(2 − 1)
= −31 − 28 − 12 + 16 + 70 + 186 = 201
bulunur.
16. Negatif olmayan a 0 ,a ,a , ... dizisi, her n =0, 1, 2, ... için,
1 2
1 1 1
+ 2 + ··· + 2 = a +1
2
2
2
2
a +a 0 a 1 +a a +a 1 a 2 +a a +a  a +1 +a
0 1 1 2  +1
indirgemeli (yineleme) ba˘ gıntısını sa˘ glasın. Buna göre, a 8 =2 ise, a 16 kaçtır?
1
Çözüm :  +1 −   = 2 e¸sitli˘ ginden,
2
 +    +1 +  +1

3
 3 +1 −  =1

olur.  =8 9 10  15 için, yazıp taraf taraf toplarsak,
3
 3 16 −  =8 ⇒  3 16 =16
8
√
elde edilir. Buradan,  16 =2 2 bulunur.
3