Page 379 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

378 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

2
9
n 10 +n + ·· · + n +n +1
17. ifadesini tamsayı yapan en büyük n tamsayısı
n +10
için, n/9 sayısının, 9’a bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm : Polinom bölmesine göre,
2
9
 10 +  + ·· · +  +  +1 = ( + 10)()+ 
¸ seklinde yazılabilir. Bu e¸sitlikte,  = −10 yazılırsa,
9
2
 =10 10 − 10 + ·· · +10 − 10 + 1
9
2
olacaktır. Bu  sayısı için,  +10 ifadesi, daima  10 +  + ·· · +  +  +1 − 
polinomunun bir bölenidir. O halde, istenen  tamsayısı için, +10 sayısı,  sayısını
da bölmelidir. ( + 10) | olacak ¸sekildeki en büyük  tamsayısı,  =  − 10
sayısıdır. Buna göre, en büyük  sayısı için,
2
9
 =  − 10 = 10 10 − 10 + ··· +10 − 10 + 1 − 10
¡ 9 7 5 3 1 ¢
=9 · 10 +10 +10 +10 +10 − 9

oldu˘ gundan, ≡ 4(mod9) bulunur.
9
2
4
3
18. Bir n = b +c +d +9 pozitif tamsayısının, bölenleri,
1= a<b<c<d< ··· <n
¸ seklindedir. Bu ko¸sulu sa˘ glayan en küçük n sayısının kaç pozitif böleni vardır?
Çözüm :  =2 oldu˘ gunu iddia ediyoruz. E˘ ger,  6=2 ise, yani  sayısı 2’ye
bölünmüyorsa, bu tüm bölenlerinin tek oldu˘ gu anlamına gelir ki, bu durumda,
3
2
4
 =  +  +  +9
sayısı çift oldu˘ gundan, çeli¸ski elde edilir. O halde,  =2 olmalıdır.
3
2
4
2
3
 =2 +  +  +9 =  +  +25
e¸sitli˘ gine göre, en küçük  sayısı için,  =3 alalım. Bu durumda,
2
2
3
 =3 +  +25 =  +52
2
2
elde edilir.  =  +52 ≡  +1 (mod 3) oldu˘ gundan,  =3 +2 formunda bir
2
sayı olması gerekir ki, bu mümkün de˘ gildir. O halde,  =4 alalım.
2
4
2
3
2
 =2 +4 +  +9 =  +89 ≡  +1 (mod 4)
ba˘ gıntısından,  sayısının 4’e bölünmedi˘ gi görülür. Dolayısıyla da,  =4 olamaz.
3
2
2
 =5 için çözümün oldu˘ gunu görelim.  =5 +  +25 =  + 150 sayısının hem
2, hem de 5’e bölünebilmesi gerekir. Buna göre  sayısı 10 olacaktır. Buradan,
2
 =10 + 150 = 250 = 2 × 5 3
bulunur.  sayısının 8 böleni vardır.