Page 380 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2018 Sınav Sorularının Çözümleri 379

¢
¢
¡
¡
2
2
19. x, y ∈ R olmak üzere, 5x +2y ve 5y +2x sayılarının en büyü˘ günü
©¡ 2 ¢ ¡ 2 ¢ª
m (x; y) ile gösterelim. Yani, m (x; y) =max 5x +2y ; 5y +2x .Buna
göre,
1
5·m (x; y) +4
ifadesinin alabilece˘ gi an büyük de˘ ger kaçtır?
Çözüm :  (; ) ≥ 5 +2 ve  (; ) ≥ 5 +2 e¸sitsizliklerini toplarsak,
2
2
¡ 2 ¢ ¡ 2 ¢
2 (; ) ≥ 5 +2 + 5 +2
µ ¶ 2 µ ¶ 2
1 1 2
=5  + +5  + −
5 5 5
olur. Buradan,
−1 1 1
 (; ) ≥ ⇒ 5 ·  (; )+ 4 ≥ 3 ⇒ ≤
5 5 ·  (; )+ 4 3
−1 1
olur. E¸sitlik,  =  = için sa˘ glanır. Yanıt : 
5 3
20. ABCDEF düzgün altıgen olsun. Altıgen içinde,
m(ABP )= m(EFP )=55 ◦
b
b
olacak ¸sekilde bir P noktası alınıyor. Buna göre, BAP açısı kaç derecedir?
b
Çözüm : Altıgenin merkezi O olsun. Tüm iç B C
açılar 120 ’dir. ¸Sekilden,
◦
∠ = 120 − 55 =65 ◦
◦
◦
olur. O halde,  dikdörtgeninden, A O D
◦
◦
∠ = 360 − (55 + 120 +65 ) = 120 ◦
◦
◦
P
◦
bulunur. Ayrıca, ∠ = 120 oldu˘ gundan, 
ve  noktaları, merkezi  noktasında olan çem­
ber üzerindedir. Böylece, || = || ve F E
∠ = ∠ =55 ◦
olur. Buradan da,
∠ = 180 − (55 +55 )= 70 ◦
◦
◦
◦
elde edilir.