Page 381 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

380 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

21. a 0 =1 ve her n ∈ N için,
p
a +1 = a  + a +1 +a 
ba˘ gıntısıyla verilen a  dizisi için, a 50 reel sayısının, virgülden sonraki ilk basama˘ gı
a 100
kaçtır?
√
Çözüm :  1 =1 +  1 +1 e¸sitli˘ ginden,  1 =3 olur. Ayrıca, verilen dizinin kesin
artan oldu˘ gu görülür.
2
( +1 −   ) =  +1 +  
2 2
( +1 −   ) − (  −  −1 ) =  +1 −  −1
( +1 −  −1 )( +1 +  −1 − 2  )=  +1 −  −1
e¸sitli˘ ginden,
 +1 +  −1 − 2  =1;
 +1 −   =   −  −1 +1
elde edilir. Buradan,   =   −  −1 denilirse,
 +1 =   +1
olur ki,  1 =2 oldu˘ gundan,
  =( − 1) + 2 =  +1
olacaktır. O halde,
  =  −1 +  +1
olur ki, buradan da,
 ( +1) 2 +2 1
  =  0 +(1+2+ ·· · + )+  = + = ( +2) ( +1)
2 2 2
elde edilir. Buradan,
52 · 51 26
 50
= = =0257 43
 100 102 · 101 101
oldu˘ gundan, yanıt 2 bulunur.
22. Pozitif x, y ve z sayıları,
µ ¶
1 1 1 ³ √ p √ ´
(x + y + z) + + + +6 = 2 2x +1 + 2y +1 + 2z +1
x y z
denklemini sa˘ glıyorsa, xyz çarpımı kaçtır?
1 √
Çözüm :  ()=  + +2 − 2 2 +1 diyelim. Buna göre, verilen e¸sitli˘ gi

 ()+  ()+  ()=0
¸ seklinde yazabiliriz.