Page 382 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2018 Sınav Sorularının Çözümleri 381

Buna göre,
1 √
 ()=  + +2 − 2 2 +1

1 ¡ 2 √ ¢
=  +1 + 2 − 2 2 +1

1 ¡ 2 √ ¢
=  − 2 2 +1+(2 +1)

1 ¡ √ ¢ 2
=  − 2 +1 ≥ 0

oldu˘ gundan,
 ()+  ()+  ()=0

e¸sitli˘ ginin sa˘ glanması için,  ()=  ()=  ()= 0 olması gerekir.  ()=0
denkleminin sa˘ glanması için,
√
 − 2 +1 = 0
olmalıdır ki, buradan,
√
2
 − 2 − 1=0 ⇒  =1 + 2
√ √
bulunur. Yani,  =  =  =1 + 2 ve buradan da  =7 + 5 2 olur.
23. [0, 1] aralı˘ gında azalmayan olup, her x ∈ [0, 1] için,
³ ´
x
f(x) +f(1 − x) =1 ve f(x) =2f
3
ko¸sullarını sa˘ glayan bir f fonksiyonunun varlı˘ gını kabul edelim. f(5/8) de˘ geri
kaçtır?
(Hatırlatma :  ≤  olan her   ∈ [0 1] için,  () ≤  () olursa,  fonksiyonuna
azalmayan denir.)
Çözüm :
 (0) = 2 (0) ⇒  (0) = 0 ve  (1) +  (0) = 1
e¸sitli˘ ginden de,  (1) = 1 olur.
µ ¶ µ ¶ µ ¶
1 1 1 2 1
 =  (1) = ve  +  =1
3 2 2 3 3
e¸sitli˘ ginden de,  (23) = 1 − 12=12 bulunur.  azalmayan fonksiyon oldu˘ gun­
dan, [13 23] aralı˘ gında sabit olup, bu aralı˘ gın her noktasında 12 de˘ gerini alır. Özel
halde,
1 5 2
 
3 8 3
oldu˘ gundan,  (58) = 12 bulunur.