Page 383 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 383
382 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları
24. a, b ve c reel sayılar olmak üzere,
a b c 1
f(x) = + + −
2
2
2
x +1 x +2 x +3 x 2
fonksiyonu için, f(1) = f(2) = f(3) =0 e¸sitlikleri sa˘ glanmaktadır. Buna göre,
m
(m, n) =1 olmak üzere, f(4) = ise, m kaçtır?
n
Çözüm :
2
2
2
2
()= ( +1)( +2)( +3) ()
fonksiyonu, altıncı deredecen bir polinomdur ve kökleri ±1 ±2 ve ±3 ’tür. O halde,
¡ 2 ¢¡ 2 ¢¡ 2 ¢
()= − 1 − 4 − 9
¸ seklindedir. Buna göre,
(0) = (−1) (−4) (−9) = −36
oldu˘ gu görülür. Di˘ ger taraftan, bir () polinomu için,
2
2
2
2
()= () − ( +1)( +2)( +3)
yazılabilece˘ ginden, (0) = −6 olacaktır.
−36 = −6
1
e¸sitli˘ ginden, = bulunur.
6
()
()=
2
2
2
2
( +1)( +2)( +3)
1 ¡ 2 ¢¡ 2 ¢¡ 2 ¢
− 1 − 4 − 9
6
=
2
2
2
2
( +1)( +2)( +3)
oldu˘ gundan,
1 ¡ 2 ¢¡ 2 ¢¡ 2 ¢
4 − 1 4 − 4 4 − 9
(4) = 6
2
2
2
2
4 (4 +1)(4 +2)(4 +3)
15 · 2 · 7
=
16 · 17 · 18 · 19
5 · 7
=
3 · 16 · 17 · 19
elde edilir. Yanıt 35 bulunur.
