Page 384 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2018 Sınav Sorularının Çözümleri 383

25. Kenarları |AB| =5 |BC| =6 A
=7 olan bir ABC üç­
ve |CA|
geninin içinde bir P noktası alınıyor ve
P noktasından, üçgenin [BC]  [CA] ve
[AB] kenarlarına sırasıyla [PD]  [PE] F E
ve [PF ] dikmeleri çiziliyor. Buna göre, P
|BC| |CA| |AB|
+ +
|PD| |PE| |PF |
B C
de˘ gerinin en küçük de˘ geri kaçtır? D
Çözüm :  üçgeninin alanını  ile
gösterelim. Buna göre,
1
 = (|||| + |||| + ||||)
2
olacaktır. Cauchy­Schwarz e¸sitsizli˘ gine göre,
2
(|| + || + ||) ≤
µ ¶
|| || ||
≤ + + (|||| + |||| + ||||)
|| || ||
oldu˘ gundan,
18 2 || || ||
≤ + +
2 || || ||
elde edilir. Di˘ ger taraftan,
p √
 = 9(9 − 5) (9 − 6) (9 − 7) = 6 6
oldu˘ gundan,

|| || || 18 2 9 √
+ + ≥ √ = 6
|| || || 12 6 2
elde edilir.
E¸sitlik durumu, || = || = || iken yani,  noktası içte˘ get çemberin yarıçapı
iken sa˘ glanır.