Page 385 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2019 Sınav Sorularının Çözümleri

4
2 2
1. Sıfırdan farklı x, y reel sayıları, x 4 =2y + x y e¸sitli˘ gini sa˘ glıyorsa,
2
7x +4y 2 oranının de˘ geri kaçtır?
2
2x − y 2
³ ´ 2
˙
2
Çözüm: Ilk e¸sitli˘ gi  2 =2 +  2 olarak yazalım. Buradan,  =2 elde edilir.

2
2
 2
Ohalde,
¡ 2 ¢ 2
2
7 +4 2 7 2 +4
= =6
2
2
2 −  2 2(2 ) −  2
2. P(x)  n­inci dereceden ve tamsayı katsayılı bir polinom ve P(0) =1809
olsun. Farklı x 1 ,x , ..., x tamsayıları için,
2 
P(x 1 ) = P (x 2 ) = ··· = P (x  ) =2019
ise, n sayısının alabilece˘ gi en büyük de˘ ger kaçtır?
Çözüm: ()= () − 2019 olsun. O halde, (), ’inci dereceden ve tamsayı
katsayılı polinom olup,
( 1 )= ( 2 )= ·· · = (  )= 0
sa˘ glanır. ()=  ( −  1 )( −  2 ) ·· · ( −   ) yazılabilir.
(0) = (0) − 2019 = 1809 − 2019 = −210
oldu˘ gundan,

(−1)  ·  1 ·  2 ·· ·   = −210 = (−1) · 1 · 2 · 3 · 5 · 7
e¸sitli˘ gi elde edilir. Bu e¸sitli˘ ge göre, ’nin en büyük olması için,  =1 alınmalıdır. Bu
durumda,  1 = −1 2 =1 3 =2 4 =3 5 =7 ve  6 =7 alınırsa,  sayısının
en büyük de˘ gerinin 6 olaca˘ gı görülür.

2
3. a  ve b  , x + 2 (4n − 1) x +4n =0 denkleminin kökleridir. Buna göre,
2
S = 2 + 2 + ··· + 2
( 3 +1)( 3 +1) ( 4 +1)( 4 +1) ( 20 +1)( 20 +1)
toplamının de˘ gerini bulunuz.
Çözüm: Vieta formülüne göre,     =4 ve   +   =2 − 8 olur. Buradan,
2
2 2 2
= =
2
(  +1)(  +1)     +   +   +1 4 +2 − 8 +1
1 1
= −
2 − 3 2 − 1
³ ´
20 P 1 1 4
bulunur. O halde,  = 2−3 − 2−1 = 13 elde edilir.
=3