Page 386 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2019 Sınav Sorularının Çözümleri 385

4. f(1) =1 ve her n pozitif tamsayısı için,
f(2n) = f(n) , f (2n +1) = f(n)+1

¡ 2019 ¢
oldu˘ guna göre, f 2 −1019 de˘ gerini bulunuz.
¡
¢
Çözüm: Öncelikle, her  ∈ N için,  2 − 1 =  oldu˘ gunu görelim.

¡ ¢ ¡ ¡ ¢ ¢

 2 − 1 =  2 2 −1 − 1 +1 biçiminde yazabiliriz. Burada,
(2 +1) = ()+1 oldu˘ gunu kullanırsak,
¡  ¢ ¡ −1 ¢
 2 − 1 =  2 − 1 +1
¡
¢
olur ve tümevarımla,  2 − 1 =  bulunur. O halde,

¡ 2019 ¢ ¡ 2019 10 2 ¢
 2 − 1019 =  2 − 2 +2 +1
¡ 2018 9 ¢ ¡ 2017 8 ¢
=  2 − 2 +2 +1 =  2 − 2 +1 +1
¡ 2016 7 ¢ ¡ 2009 ¢
=  2 − 2 +2 =  2 − 1 +2
= 2009 + 2 = 2011
elde edilir.
5. x ve y pozitif tamsayıları için,
20 x 19
< <
107 y 100
e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan en küçük y tamsayısını bulunuz.
Çözüm: 107 − 20 =  ve 19 − 100 =  olsun.  ve  sayıları pozitif
tamsayılardır. Bu e¸sitliklerde  bilinmeyenini yok edelim.

107 · 19 − 100 · 20 =33 = 100 ·  + 107 · 
e¸sitli˘ ginden,

100 ·  + 107 ·   +8
 = =3 ( + )+
33 33
olur. Bu e¸sitli˘ ge göre, en küçük  için,  +8 =33 olacak ¸sekilde,  =4 ve  =1
alınabilir. O halde,  =15 + 1= 16 olacaktır.

6. Rakamlarından herhangi biri, di˘ gerlerine bölünmeyecek ¸sekilde be¸s basamaklı
kaç sayı vardır?
Çözüm: Söz konusu sayının rakamları içinde 0 ve 1 olamaz. Bu sayının tüm rakam­
ları birbirinden farklı olmalıdır. Sayı be¸s basamaklı olaca˘ gından, en küçük rakamı en
fazla 5 olabilir. En küçük rakama göre, a¸sa˘ gıdaki durumlar olabilir.
i. En küçük rakam 2 ise, di˘ gerleri tek olmalıdır. Yani, 3, 5, 7, 9 olabilir. Fakat,
3 ve 9 aynı anda bulunamaz. Çünkü, 9, 3’e bölünür. O halde, söz konusu sayının
rakamlarından birinin 2 olması mümkün de˘ gildir.
ii. En küçük rakam 3 ise, 6 ve 9 olamayaca˘ gına göre, geriye 4, 5, 7, 8 kalır ki, 8,