Page 61 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

60 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

15. Yarıçapı 2 birim olan bir çember, bir karenin iki kom¸su kenarına içten te˘ get olup,
karenin sadece bir kö¸sesinden geçmektedir. Buna göre, karenin kenar uzunlu˘ gu kaç
birimdir?
√ √ √ √
A) 2+ 2 B) 3 C) 2 2 D) 5 E) 4 − 2

16. 1, 2, , 999, 1000 sayıları verilsin. Bu sayılardan azalan aritmetik dizi olu¸stura­
cak ¸sekilde kaç tane sayı üçlüsü seçilebilir? (Örne˘ gin, 3, 2, 1 ve 9, 6, 3 birer azalan
aritmetik dizidir.)
¡
¡
A) 245500 B) 1 500 ¢ C) 247500 D) 1 1000 ¢ E) 249500
3 3 3! 3
17. , ,  gerçel sayıları || ≤ 3, || ≤ 2, || ≤ 1 ko¸sullarını sa˘ glamak
3
2
üzere, tüm  +  +  +  =0 denklemlerini dü¸sünelim. Bu denklemlerden
en az birini sa˘ glayan pozitif gerçel sayıların en büyü˘ güne  0 diyelim.  0 sayısı için
a¸sa˘ gıdakilerden hangisi do˘ grudur?
A) 2  0  3 B) 1  0  2 C) 0  0  1
D) 3  0  4 E) 4  0  5

18. Bir ABCD dikdörtgeninde [AB] kenarı üzerinde bir P noktası ve [BC] kenarı
üzerinde bir N noktası, APD, PBN ve NCD üçgenlerinin alanları e¸sit olacak biçimde
alınmı¸stır. Buna göre, || oranı nedir?
||
√ √ √
5+1 3 5+2 4 5 − 1
A) B) C) D) E)
2 2 4 3 2

19. 1’den 99’a kadar (1 ve 99 dahil) tüm tek sayıları alalım. Bu sayıların hepsinin
toplamına  1 ,tüm iki¸serli çarpımlar toplamına  2 , tüm üçerli çarpımlar toplamına
 3 ,... ,tüm 49­arlı çarpımlar toplamına  49 ve hepsinin çarpımına  50 diyelim.
(Örne˘ gin, , , ,  sayıları için iki¸serli çarpımlar toplamı  +  +  +  +  +
’dir.) Buna göre,  50 −  49 +  48 −  47 +  +  2 −  1 toplamı neye e¸sittir?
49
A) −50! B) 50! C) −1 D) 1 E) −2 49!

¾
6
4
3
5
2
 +4 +3 − 6 − 20 − 15 +5 = 0
20. denklemler sisteminin gerçel
2
3
5
4
 +2 −  − 5 − 10 +5 = 0
çözümü  0 ise, 3 +7 tamsayısının rakamlar toplamı kaçtır?
3
0
A) 4 B)13 C)7 D) 5 E)16