Page 100 - 8_sf_Dahimatik
P. 100

˙
                                            ˙
                                       ˙
                                   DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım                   99
                                                                     3
                 72 tane pozitif böleni olan en küçük              12 sayısının pozitif bölenlerinden çift
          tamsayının rakamlarının karelerinin toplamı    olanlarının sayısını bulunuz.
          nedir? (UMO - 1999)

                            a b c
                   Bir n = 2 3 5  ::: sayısının pozitif
          bölenlerinin sayısı;
                     3 2
               72 = 2 3 = 2 2 2 3 3 = 6 3 2 2 = 8 3 3
          oldu˘ gundan; n sayısının en küçük olması için; 2’nin
          üssünü 5, 3’ün üssünü 2, 5 ve 7’nin üssünü de 1 alalım.  Yanıt : 7 4   4 = 24:
          Di˘ ger durumlar da kontrol edilerek,
             5
                2
                                    1
                                       1
                                          1
                                  2
                               2
            2  3  5 7 = 10 080 < 2  3  5  7  11 = 13 860
                                                                210’u böldü˘ günde 10 kalanı elde edilen
          oldu˘ gundan, istenen ¸sekildeki en küçük sayı;  kaç tane pozitif tamsayı vardır?
                             2
                           5
                      n = 2  3  5 7 = 10 080
                                                                  210 = A B + 10 ve B > 10 yazılabilir.
          elde edilir. Buna göre; rakamlarının kareleri toplamı;  Buradan;
               2
           2
          1 + 8 = 65 bulunur.
                                                                                   3 2
                                                                      A B = 200 = 2 5
                                                        e¸sitli˘ gine göre;
                                                                      (3 + 1) (2 + 1) = 12
                                                        tane pozitif bölen vardır. Bu bölenler arasından; 10
                                                        kalanından büyük olmayanları çıkarmalıyız. Çünkü,
                                                        bu sayılar, bir sayıyı böldü˘ günde 10 kalanını veremez.
                   4
                 10 sayısının pozitif bölenlerinden çift  1; 2; 4; 5; 8 ve 10 çıkarılırsa; 12   6 = 6 tane istenen
          olanlarının sayısını bulunuz.                 ¸ sekilde B pozitif tamsayısı vardır.Ayrıca, 210’u
                                                        böldü˘ günde 10 kalanı veren sayıların da,
                     4
                          4 4
                   10 = 2 5 oldu˘ gundan,
                                                                      12; 20; 40; 25; 50; 200
                       (4 + 1) (4 + 1) = 25
                                                        oldu˘ gu bulunabilir.
                                           a
          pozitif böleni vardır. Bunlardan, sadece 5 formunda
          olanlar tektir. Bunların sayısı da 5 oldu˘ gundan, çift
          olanların sayısı 25   5 = 20 olur.
                                                                808’i böldü˘ günde 8 kalanı elde edilen kaç
                                                        tane pozitif çift tamsayı vardır?
                 9000 sayısının pozitif bölenlerinden çift        808 = A B + 8 ve B > 8 yazılabilir.
          olanlarının sayısını bulunuz.                 Buradan;
                                                                                   5 2
                                                                      A B = 800 = 2 5
                          3 3 2
                   9000 = 2 5 3 oldu˘ gundan, toplam
                           4 4 3 = 48                   e¸sitli˘ gine göre;
          pozitif böleni vardır. Tek olanlar ise,                     (5 + 1) (2 + 1) = 18
                               a b
                              5 3                       tane pozitif bölen vardır. Bu bölenler arasından; 8
                                                        kalanından büyük olmayanları çıkarmalıyız. Çünkü, bu
          formundadır. Bunların sayısı da, 4 3 = 12 oldu˘ gundan,
                                                        sayılar, bir sayıyı böldü˘ günde 8 kalanını veremez. 1; 2;
          çift olanların sayısı
                                                        4; 5 ve 8 çıkarılırsa; 18   5 = 13 tane istenen ¸sekilde B
                          48   12 = 36                  pozitif tamsayısı vardır. Fakat, soruda pozitif çift sayı
                                                        denildi˘ ginden, 25 çarpanını çıkarmalıyız. Buna göre,
          olur.
                                                        808’i böldü˘ günde 8 kalanı elde edilen 13   1 = 12 çift
                                                        sayı
                                                        vardır.
   95   96   97   98   99   100   101   102   103   104   105