Page 100 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 99
3
72 tane pozitif böleni olan en küçük 12 sayısının pozitif bölenlerinden çift
tamsayının rakamlarının karelerinin toplamı olanlarının sayısını bulunuz.
nedir? (UMO - 1999)

a b c
Bir n = 2 3 5 ::: sayısının pozitif
bölenlerinin sayısı;
3 2
72 = 2 3 = 2 2 2 3 3 = 6 3 2 2 = 8 3 3
oldu˘ gundan; n sayısının en küçük olması için; 2’nin
üssünü 5, 3’ün üssünü 2, 5 ve 7’nin üssünü de 1 alalım. Yanıt : 7 4 4 = 24:
Di˘ ger durumlar da kontrol edilerek,
5
2
1
1
1
2
2
2 3 5 7 = 10 080 < 2 3 5 7 11 = 13 860
210’u böldü˘ günde 10 kalanı elde edilen
oldu˘ gundan, istenen ¸sekildeki en küçük sayı; kaç tane pozitif tamsayı vardır?
2
5
n = 2 3 5 7 = 10 080
210 = A B + 10 ve B > 10 yazılabilir.
elde edilir. Buna göre; rakamlarının kareleri toplamı; Buradan;
2
2
1 + 8 = 65 bulunur.
3 2
A B = 200 = 2 5
e¸sitli˘ gine göre;
(3 + 1) (2 + 1) = 12
tane pozitif bölen vardır. Bu bölenler arasından; 10
kalanından büyük olmayanları çıkarmalıyız. Çünkü,
bu sayılar, bir sayıyı böldü˘ günde 10 kalanını veremez.
4
10 sayısının pozitif bölenlerinden çift 1; 2; 4; 5; 8 ve 10 çıkarılırsa; 12 6 = 6 tane istenen
olanlarının sayısını bulunuz. ¸ sekilde B pozitif tamsayısı vardır.Ayrıca, 210’u
böldü˘ günde 10 kalanı veren sayıların da,
4
4 4
10 = 2 5 oldu˘ gundan,
12; 20; 40; 25; 50; 200
(4 + 1) (4 + 1) = 25
oldu˘ gu bulunabilir.
a
pozitif böleni vardır. Bunlardan, sadece 5 formunda
olanlar tektir. Bunların sayısı da 5 oldu˘ gundan, çift
olanların sayısı 25 5 = 20 olur.
808’i böldü˘ günde 8 kalanı elde edilen kaç
tane pozitif çift tamsayı vardır?
9000 sayısının pozitif bölenlerinden çift 808 = A B + 8 ve B > 8 yazılabilir.
olanlarının sayısını bulunuz. Buradan;
5 2
A B = 800 = 2 5
3 3 2
9000 = 2 5 3 oldu˘ gundan, toplam
4 4 3 = 48 e¸sitli˘ gine göre;
pozitif böleni vardır. Tek olanlar ise, (5 + 1) (2 + 1) = 18
a b
5 3 tane pozitif bölen vardır. Bu bölenler arasından; 8
kalanından büyük olmayanları çıkarmalıyız. Çünkü, bu
formundadır. Bunların sayısı da, 4 3 = 12 oldu˘ gundan,
sayılar, bir sayıyı böldü˘ günde 8 kalanını veremez. 1; 2;
çift olanların sayısı
4; 5 ve 8 çıkarılırsa; 18 5 = 13 tane istenen ¸sekilde B
48 12 = 36 pozitif tamsayısı vardır. Fakat, soruda pozitif çift sayı
denildi˘ ginden, 25 çarpanını çıkarmalıyız. Buna göre,
olur.
808’i böldü˘ günde 8 kalanı elde edilen 13 1 = 12 çift
sayı
vardır.