Page 105 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
104 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir

F Pozitif Bölenleri Toplamının Çarpanları F Pozitif bölenlerinin toplamı 45 olan kaç

tamsayı vardır?
Bir sayının pozitif bölenlerinin toplamının tüm çarpan-
ları p bir asal sayı olmak üzere
n
p + p n 1 + + p + 1
¸ seklindedir. Her çarpandaki p sayısı da farklıdır.
Örne˘ gin,
3 2
360 = 2 3 5
Yanıt : ˙ Istenen ¸sekilde sayı yoktur.
sayısının pozitif bölenlerinin toplamı,
3 2 1 2 1 1
S (n) = 2 + 2 + 2 + 1 3 + 3 + 1 5 + 1 Pozitif bölenlerinin toplamı 12 olan
= 15 13 6 sayıları bulunuz.
= 1170
12’nin çarpanlarından 2 hariç tümü
bulunur. 2 n
1 + p + p + + p formunda yazılabilir. Gerçekten;
1
3 = 1 + 2 ; (p = 2 için) ;
1
4 = 1 + 3 ; (p = 3 için) ;
6 = 1 + 5; (p = 5 için),
12 = 1 + 11; (p = 11 için)
olur. Buna göre; çarpımı 12 olanlar 3 ve 4 ile 12’nin
kendisidir. O halde, pozitif bölenlerinin toplamı 12
olan sayılar,
n = (12 1) = 11 ve n = (3 1) (4 1) = 6
olur.
Pozitif bölenlerinin toplamı 30 olan kaç
tamsayı vardır?

Bir sayının pozitif bölenlerinin toplamı; p
bir asal sayı olmak üzere;

n
2
(1 + p + p + + p ) F Pozitif Bölenlerinin Çarpımı F

¸ seklinde yazılabilen sayıların çarpımıyla olu¸sabilir. n
Bir m sayısı, bir n sayısının pozitif böleni ise, sayısı
O halde; 30 sayısının bölenlerinden bu formda m
yazılabilenleri bulalım. 30 sayısının bölenleri; da bir pozitif bölendir.
12
(Örne˘ gin, 3, 12’nin pozitif böleni iken, = 4 de poz-
f1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30g
3
oldu˘ gundan, bu bölenlerin itif bölenidir.)
Bu özellik, bize tüm pozitif bölenlerin sayısının kolayca
2
1 + p + p + + p n n
hesaplayabilmemizi sa˘ glar. Çünkü, m ve bölenlerin
formunda yazılıp yazılamayaca˘ gını kontrol edelim. çarpımı, n’dir. m
n
2
1 + p + p + + p 6= 2
n
2
1 + p + p + + p = 3 , p = 2; n = 1
2
n
1 + p + p + + p 6= 5
n
2
1 + p + p + + p = 6 , p = 5; n = 1
2
n
1 + p + p + + p 6= 10 F Tamkare De˘ gilse Pozitif Bölenlerin Çarpımı F
2
n
1 + p + p + + p = 15 , p = 2; n = 3
n
2
1 + p + p + + p = 30 , p = 29; n = 1 Sayı tamkare de˘ gilse, pozitif bölenlerin çarpımı
oldu˘ gundan; 30’un çarpanlarından; 3; 6; 15 ve 30 bölen sayısının yarısı kadar n’nin kendisiyle çarpıl-
masıyla elde edilir.
çarpanları
Örne˘ gin, 12 sayısının pozitif bölenlerinin çarpımı
n
2
(1 + p + p + + p ) 3
1 2 3 4 6 12 = 12
formunda yazılabilir. Bunların arasında çarpımı 30
olur.
olacak ¸sekilde alabilece˘ gimiz tek sayı 30’dur. Yani;
pozitif bölenlerinin toplamı 30 olan tek sayı p = 29
olur.