Page 101 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
100 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
2024’ü böldü˘ günde 12 kalanı elde edilen 360 sayısının pozitif bölenlerinin toplamını
bulunuz.
kaç tane pozitif tamsayı vardır?
3 2
360 = 2 3 5 oldu˘ gundan,
2 3 2
S (360) = 1 + 2 + 2 + 2 1 + 3 + 3 (1 + 5)
= 1170
elde edilir. Ya da,
4
3
2
Yanıt : 3. f503; 2 503; 4 503g : S (n) = 2 1 3 1 5 1

2 1 3 1 5 1
= 15 13 6
= 1170
¸ seklinde bulunabilirdi.

F Pozitif Bölenlerin Toplamı F

k m
Bir p 1 ve p 2 asal olmak üzere, n = p p sayısının
1 2
pozitif bölenlerinin toplamı S (n) ile gösterilir ve
2 k 2 m
1 + p 1 + p + + p 1 1 + p 2 + p + + p 2
2
1
çarpımıla bulunur. Di˘ ger yandan,
240 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı
p k+1 1 kaçtır?
k
2
1 + p 1 + p + + p = 1
1
1
p 1 1
oldu˘ gu kullanılırsa,
p k+1 1 p k+1 1
2
1
S (n) =
p 1 1 p 2 1
¸ seklinde de yazılabilir.
3 2
Örne˘ gin, n = 72 = 2 3 sayısının pozitif bölenlerinin
toplamı :
2 3 2
S (72) = 1 + 2 + 2 + 2 1 + 3 + 3
= 15 13 = 195 Yanıt : 744:
bulunur.
4
3
2 1 3 1 2400 sayısının pozitif bölenlerinin
S (72) = = 195
2 1 3 1 toplamı kaçtır?
¸ seklinde de bulabilirdik.
En genel halde, p 1 ; p 2 ; :::; p r asal sayıları için,
k m
n = p p p t r
1 2
sayısının pozitif bölenlerinin toplamı :
p k+1 1 p m+1 1 p t+1 1
S (n) = 1 2 k
p 1 1 p 2 1 p r 1
formülüyle bulunur.
Yanıt : 7812: