Page 103 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
102 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
m ve n sayıları 2000 sayısının pozitif
bölenleri olmak üzere; (m; n) ikililerini gözönüne n (n + 1) (2n + 1)
2
2
2
2
alalım. Bu ikililerden kaç tanesi için n sayısı m’yi 1 + 2 + 3 + + n = 6
tam böler? (UAMO- 2000)
oldu˘ guna göre,
2
2
2
2
1 1 + 2 2 + 3 3 + + 100 100
3
4
c
b
a
2000 = 2 5 ; m = 2 5 ; n = 2 5 d ifadesinin kaç tane tek sayı pozitif böleni vardır?
olsun. n j m olması için, Verilen sayıyı,
4 a c 0 ve 3 b d 0 2 2 2
1 + 2 + + 100 (1 + 2 + + 100)
olmalıdır. Bu ko¸sulları sa˘ glayan tam 15 tane (a; c) 100 101 201 100 101
ikilisi ve tam 10 tane (b; d) ikilisi vardır. Dolayısıyla, =
6 2
n j m olan (n; m) ikililerinin sayısı
=50 101 (67 1)
15 10 = 150 2 2
=2 3 5 11 101
olarak bulunur.
biçiminde hesaplayabiliriz. Buna göre, tek sayı pozitif
bölenlerinin sayısı,
(1 + 1) (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 24
olarak bulunur.
m ve n sayıları 2520 sayısının pozitif
bölenleri olmak üzere; (m; n) ikililerini göz önüne
alalım. Bu ikililerden kaç tanesi için n sayısı m’yi tam
böler?

2
Kaç tane p asal sayısı için p + 11 sayısının
Yanıt : 540.
tam 6 tane farklı pozitif böleni vardır? (UAMO-
2002)
p = 2 için
2
p + 11 = 15 = 3 5
2
3
p ve p + 2 asal sayılarsa; p + 3 sayısının sayısının 4 pozitif böleni vardır.
en çok kaç asal böleni olabilir? (UMO - 2006) p = 3 için
2
2
p + 11 = 20 = 2 5
2
p ve p + 2 asal sayılarsa; p = 2 olamaz.
sayısının 6 pozitif böleni vardır.
p > 3 için; tüm asal sayılar; 6k 1 formundadır. Buna
Her p 5 asal sayısı 6k 1 biçiminde
göre; p asal sayı iken;
gösterilebilir.
2
2
p + 2 = (6k 1) + 2 Buna göre,
2
= 36k 12k + 1 + 2 2 2
2 p + 11 = (6k 1) + 11
= 3 12k 4k + 1 2
= 36k 12k + 12
oldu˘ gundan; asal sayı olamaz. O halde; sadece p = 3 = 12 3k k + 1

2
2
için incelemek yeterlidir. p = 3 iken; p + 2 = 11
2
asaldır ve olaca˘ gından, p + 11 daima, 12’ye bölünecektir
ve 12’nin zaten 6 tane pozitif böleni oldu˘ gundan,
3
3
p + 3 = 3 + 3 = 30 = 2 3 5 2
p + 11 sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 6’dan fazla
oldu˘ gundan en fazla 3 asal böleni vardır. olacaktır.