Page 104 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 103

F Pozitif Bölen Sayısı Ne Zaman Tek Olur? F p ve q farklı asal sayılar; a ve b farklı
pozitif tamsayılar ve
n sayısının pozitif bölenlerinin sayısının tek sayı ola- n = p q b
a
bilmesi, sadece n sayısının bir TAMKARE olması du-
2
olmak üzere; n sayısının pozitif bölenlerinin sayısı
rumunda mümkündür. Çünkü, n sayısı tamkare olursa,
3
81 ise; n sayısının pozitif bölenlerinin sayısı kaçtır?
asal çarpanlara göre yazılı¸sındaki tüm asal çarpanların
(UMO - 1996)
üssü çift olacaktır. Dolayısıyla da, 1 fazlaları tek sayı
olacaktır. Tek sayıların çarpımı da tek olur. E˘ ger, 2 2a 2b
tamkare olmaz ise, üssü tek olan bir asal çarpan mutlaka n = p q sayısının pozitif bölenlerinin
olur. Bu durumda da, bu asal çarpanın üssünün 1 fazlası sayısı;
2
çifttir ve di˘ gerleriyle çarpımı da daima çift sayı olur. B n = (2a + 1) (2b + 1) = 81
olur. a 6= b ve pozitif tamsayılar oldu˘ gundan; bu e¸sitlik
Örne˘ gin, ancak; 3 27 olabilir. Yani;
2a + 1 = 3 ve 2b + 1 = 27
2 2
36 = 2 3 olabilir ki, buradan a = 1 ve b = 13 olur. O halde;
3a
3
3
tamkaresi için, bölen sayısı 3 3 = 9’dur ve tektir. n = p q 3b = p q 39
4
48 = 2 3 pozitif sayısının bölenlerini sayısı;
3
için, 5 2 = 10’dur ve çifttir, çünkü 48 tamkare de˘ gil. B n = (3 + 1) (39 + 1) = 160
bulunur.

500’den küçük kaç sayının pozitif
bölenlerinin sayısı tek sayıdır?
Pozitif bölenlerinin sayısı 6 olan 100’den
küçük olan kaç sayı vardır?
500’den küçük tamkareler,
2
2
1; 2 ; 3 ; :::; 22 2 a sayısının pozitif bölenlerinin sayısı
B (a) = 6 oldu˘ gundan;
dir. O halde, 22 sayının pozitif bölenlerinin sayısı tek
sayıdır. B (a) = ( 1 + 1) ( 2 + 1) = 6 1
veya
B (a) = ( 1 + 1) ( 2 + 1) = 2 3

¸ seklindedir.
B (a) = 6 1 ise, 1 = 5 ve 2 = 0’dir ve bu durumu
sa˘ glayan 100’den küçük olan tek sayı
5
2 = 32 (1 tane)
olur.
1000’den küçük kaç sayının pozitif B (a) = 2 3 ise, 1 = 1 ve 2 = 2’dir ve bu durumu
bölenlerinin sayısı tek sayıdır? sa˘ glayan 100’den küçük olan sayılar;
1
2
2 p < 100 için, p = 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19, 23 (8 tane)
1
2
3 p < 100 için, p = 2; 5; 7 ve 11 (4 tane)
2
1
5 p < 100 için, p = 2 ve 3 (2 tane)
1
2
7 p < 100 için, p = 2 (1 tane)
olur. Böylece; toplam
1 + 8 + 4 + 2 + 1 = 16
Yanıt : 31:
sayı vardır.