Page 97 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
96 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir

F Bir Sayının Karesinin 4 ile Bölümü F a; b; c tek sayıları için;

2
2
2
2
2
a + b + c + d + e = 807
Bir sayının karesinin 4’e bölümünden kalan ya 0 ya da
1’dir. 2 ve 3 olamaz. denkleminin çözümlerini bulunuz.
2
2
2
2
Gerçekten, 0 ; 1 ; 2 ve 3 sayılarının 4’e bölümünden
kalanlar sırasıyla 0,1,0,1’dir. Bu ¸sekilde devam eder. Bir tek tamsayının karesinin 8’e
Bunu matematiksel olarak ¸söyle gösterebiliriz. bölümünden kalan sadece 1 olabilir. O halde;
2 2
2
2
2
2
n = 4k ise (4k) = 16k , a + b + c + d + e 2
2 2
n = 4k + 1 ise (4k + 1) = 16k + 8k + 1;
2 2 ifadesinin 8’e bölümünden kalanın 5 olması gerekir.
n = 4k + 2 ise (4k + 2) = 16k + 16k + 4; Fakat, 807 sayısının 8’e bölümünden kalan 7
2 2
n = 4k + 3 ise (4k + 3) = 24k + 16k + 9 oldu˘ gundan, verilen e¸sitli˘ gin sa˘ glanması mümkün
oldu˘ gundan, bir sayının 4’e bölümünden kalan 0 yada 1 de˘ gildir. Yani, bu denklemin tamsayılarda çözümü
olabilir. yoktur.

F Bir Sayının Karesinin 16 ile Bölümü F

2
x + 4y 12z = 122 denklemini sa˘ glayan Bir sayının karesinin 16’ya bölümünden kalan ya 0, 1,
kaç tane (x; y; z) tamsayı üçlüsü vardır? 4 ya da 9’dur.

2
x + 4y 12z = 122
denkleminin sol tarafındaki ifadelerin 4’e bölümünden
2
kalan, x sayısının 4’e bölümünden kalana e¸sittir.
Di˘ ger taraftan; 122’nin 4’e bölümünden kalan 2
2
oldu˘ gundan; x sayısının da 4’e bölümünden kalan
2 olmalıdır. Fakat; bu mümkün olamayaca˘ gından
denklemin tamsayılarda çözümü yoktur. n pozitif tamsayısı için;
3n 1; 5n + 2; 4n + 3; 8n + 3
sayılarının kaç tanesi bir tamkare olabilir.

Bir sayının karesinin;
3’e bölümünden 2 kalanı;
5’e bölümünden 2 kalanı;
4’e bölümünden 3 kalanı ve
F Bir Sayının Karesinin 8 ile Bölümü F
8 ile bölümünden 3 kalanı
Bir sayının karesinin 8’e bölümünden kalanlar 0, 1 elde edilemez. O halde; hiçbiri tamkare olamaz.
ya da 4 olabilir. Hatta, bir tek sayının karesinin 8’e
bölümünden kalan sadece 1 olabilir.

F Dördüncü Kuvvetin 16 veya 8 ile Bölümü

Bir sayının dördüncü kuvvetinin 16’ya ve 8’e bölümün-
den ya 0 ya da 1’dir.