Page 98 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 97
Bir tamsayının karesinin 7’ye bölümünden Bölen Sayısı, Bölenler Toplamı,
hangi kalanlar elde edilebilir? Çarpımı

0,1,2,3,4,5,6 sayılarının karelerinin 7’ye
bölümünden kalanlara bakalım. F Asal Çarpanlara Ayrılı¸s F
2
2
0 = 0; (Kalan 0) 1 = 1; (Kalan 1)
2
2
2 = 4; (Kalan 4) 3 = 9; (Kalan 2) Herhangi bir n sayısını, p 1 ; p 2 ; :::; p k sayıları
2
2
4 = 16; (Kalan 2) 5 = 25; (Kalan 4) birbirinden farklı asal sayılar ve a; b; c; :::; z sayıları da
2
6 = 36; (Kalan 1) pozitif tamsayılar olmak üzere,
Görüldü˘ gü gibi, 0; 1; 2; 4 kalanları elde edilir. a b c z
n = p p p p k
3
1
2
formunda yazabiliriz. Bu yazılı¸sa, n sayısının asal
çarpanlarına göre yazılı¸sı denir. Bu yazılı¸s tek tür-
lüdür. Örne˘ gin,
20 10 10
60 10 = 2 3 5 :
2
2
7 sayısının a + b sayısını bölmesi için,
7 sayısının hem a hem de b’yi bölmesi gerekir.
48’in pozitif bölenlerinin sayısını ve
Gösteriniz.
bunların toplamını bulunuz.
Bir sayının karesinin 7’ye bölümünden
48’in pozitif bölenleri :
0; 1; 2 ve 4 kalanları elde edilebilir. Bu kalanların
1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48
herhangi ikisinin toplamının 7’ye bölünebilmesi
ancak ve ancak her iki kalanında 0 olması durumunda ’dir. Bunların sayısı da 10’dur. Bu bölenlerin toplamı
2
2
mümkün olaca˘ gından; a + b sayısının 7’ye ise,
bölünebilmesi için gerek ve yeter ¸sart
1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 + 48 = 124
7 j a ve 7 j b
olur.
olmasıdır.

Bu ¸sekilde hesaplamak, daha büyük sayılarda i¸simizi
güçle¸stirir. Bunun yerine a¸sa˘ gıdaki formülleri
1 x 1000; 1 y 1000 olmak üzere;
kullanarak kolayca sonuca ula¸smak mümkündür.
2
2
x + y sayısı 49’a bölünecek biçimde kaç tane

(x; y) tamsayı ikilisi vardır? (UAMO- 1997) F Pozitif Bölenlerin Sayısı F

2
2
x + y nin 7 ile bölünebilmesi için gerek Bir n sayısının asal çarpanları ile yazılımı
ve yeter ko¸sul, x ve y’nin 7 ile bölünebilmesidir (7 ile n = p p p p z
a
c
b
2
2
bölünen x ve y’ler için x + y sayısı 49 ile bölünür). 1 2 3 k
olsun. Bu durumda n sayısının pozitif bölenlerinin
1 x 1000
sayısı; B(n) ile gösterilir ve
aralı˘ gında, 7’ye bölünen 142 sayı vardır. Benzer B (n) = (a + 1) (b + 1) (c + 1) (z + 1)
¸ sekilde,
formülüyle bulunur. n sayısının tüm bölenlerinin
1 y 1000 sayısı ise; 2 B (n)’dir. Örne˘ gin, bir önceki örnek için,
4 1
48 = 2 3 oldu˘ gundan, 48’in
˙
aralı˘ gında da 7’ye bölünen 142 sayı vardır. Istenen
(x; y) ikililerinin sayısı : (4 + 1) (1 + 1) = 10
142 142 = 20164 pozitif böleni oldu˘ gunu kolayca bulabilirdik. Yani,
B(n) = 10 ’dur.
bulunur.