Page 96 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 95
2
F Asal Sayıların Gösterimi F Kaç tane p asal sayısı için; p + 21p 1
sayısı da asaldır?
F 3’ten büyük asal sayıları, k 2 Z olmak üzere, 6k + 1
2
veya 6k 1 formunda yazabiliriz. Bu iki ifadeyi birlikte, p + 21p 1 sayısı p = 2 için 45’tir ve
kısaca, asal de˘ gildir. p = 3 içinse, 71 oldu˘ gundan asaldır.
p > 3 için; asal sayıları 3k + 1 veya 3k + 2 formunda
6k 1
yazabiliriz. Buna göre, p = 3k + 1 ve p = 3k + 2 için
formunda yazabiliriz. Gerçekten, 6k; 6k + 2; 6k + 4 sırasıyla,
sayıları asal olamaz, çünkü, k 1 için her biri 2’ye p + 21p 1 = (3k + 1) + 21 (3k + 1) 1
2
2
bölünür. 6k + 3 sayısı da 3’e bölündü˘ günden asal ola- 2
= 3 3k + 23k + 7
maz. Geriye, 6k +1 ve 6k +5 sayıları kaldı. Bu iki sayı 2
2
da asal olabilir. O halde, 3’den büyük tüm asal sayıları, p + 21p 1 = (3k + 2) + 21 (3k + 2) 1

6k + 1 veya 6k 1 formunda yazabiliriz. Örne˘ gin, = 3 3k + 25k + 15
2
101 = 6 17 1 ¸seklindedir.
oldu˘ gundan asal olamaz. O halde, sadece p = 3 için
2
p + 21p 1 sayısı asaldır.
F Yukarıdaki ifadenin tersi do˘ gru de˘ gildir. Yani, 6k +
1 ve 6k 1 formundaki sayılar asaldır denilemez.
Örne˘ gin, 6 4 + 1 = 25 sayısı asal de˘ gildir.

5’in katı olmayan herhangi n tamsayısının
karesinin bir fazlasının 5’e bölümünden elde
edilebilecek kaç farklı kalan vardır?
x = 5k 1 veya x = 5k 2 olabilir. Buna
3’den büyük bir asal sayının karesinin 1 göre,
eksi˘ ginin daima 12’ye bölündü˘ günü gösteriniz. x = 5k 1 için,
2
2
2
x + 1 = (5k 1) + 1 = 25k 10k + 2 = 5A + 2;
3’den büyük asal sayıları 6k 1 formunda
yazabiliriz. Karesini alıp 1 çıkarırsak, x = 5k 2 için,
2 2 2 2 2
(6k 1) 1 = 36k 12k + 1 1 x + 1 = (5k 2) + 1 = 25k 20k + 5 = 5A
2
= 36k 12k oldu˘ gundan, sadece 0 ve 2 kalanları elde edilebilir.
elde edilir ki, bu sayı daima 12’nin katıdır ve 12’ye tam
böünür.

n; 1’den büyük bir tamsayı olmak üzere;
n
3 sayısının ardı¸sık üç tek sayının toplamı olarak
yazılabilece˘ gini gösteriniz.

n
3 = (2k + 1) + (2k + 3) + (2k + 5) = 6k + 9
oldu˘ gunu kabul edelim. Bu durumda, 2k = 3 n 1 3

F Asal Sayıların Gösterimi F olur. 3 n 1 3 sayısı çift oldu˘ gundan 2’ye bölünür ve

n > 1 için; k bir pozitif tamsayı olur. O halde;
3’ten büyük asal sayılar, k 2 Z olmak üzere ya 3k + 1 n
ya da 3k + 2 formundadır. 3 = (2k + 1) + (2k + 3) + (2k + 5)
n 1 n 1 n 1
= 3 2 + 3 + 3 + 2
¸ seklinde yazılabilir.