Page 95 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
94 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir

F Bölme Algoritması F Tüm elemanları pozitif tam sayılar olan
bir kümenin herhangi üç elemanının toplamı hep
o
B•ol•unen = B•len B•ol•um + Kalan ifadesinde; asal oluyorsa, bu kümenin en çok kaç elemanı
kalan daima bölenden küçük olaca˘ gından, bu e¸sitlik olabilir? (U ˙ IMO - 2009)
bize sayıları sınıflamamıza olanak sa˘ glar. Örne˘ gin, bir
sayı 3’e bölündü˘ günde ya 0, ya 1 ya da 2 kalanını verir. Herhangi üçünün 3’e bölümünden aynı
O halde, herhangi bir sayı n 2 Z olmak üzere, kalanı vermemesi ve herhangi üçünün, 3’e bölümünden
3n; 3n + 1 veya 3n + 2 kalanların farklı olmaması gerekir. Çünkü, her iki
durumda da toplamları 3’e bölünür ve asal olamaz.
formlarından biri olmalıdır. Benzer ¸sekilde, herhangi
Be¸s eleman olursa bu iki ¸sarttan biri bulunaca˘ gından
bir sayıyı 5’e bölündü˘ günde verdi˘ gi kalanlara göre,
istenen elde edilemez. 4 eleman olabilir, örne˘ gin
5n; 5n + 1; 5n + 2; 5n + 3 veya 5n + 4
f7,11,13,23g
formunda yazabiliriz. Burada, 5n + 3 yerine 5n 2 ve
kümesi alınabilir.
5n + 4 yerine de 5n 1 yazılabilir.

x sayısı 6’ya bölünemeyen bir çift sayı ise
hangi formda gösterilebilir?

3’e bölündü˘ günde aynı kalanı üç sayının x; 6’ya bölünemeyen bir çift sayı ise;
toplamının 3’e bölündü˘ günü gösteriniz. x = 6k + 2 veya x = 6k + 4 olabilir. Kısaca; 6k 2
ile gösterebiliriz.
3’e bölündü˘ günde kalan 0, 1 veya 2
olabilir. Buna göre, herhangi bir sayıyı,
n = 3k + r; r 2 f0; 1; 2g
¸ seklinde yazabiliriz. 3’e bölündü˘ günde aynı kalanı
veren üç sayı,
3k + r; 3m + r ve 3s + r; (r 2 f0; 1; 2g)
olsun. Bunların toplamı, x sayısı 3’e bölünemeyen bir tek sayı ise
(3k+r) + (3m+r) + (3s+r) = 3k+3m+3s+3r hangi formda gösterilebilir?
= 3 (k+m+s+r)
x; 3’e bölünemeyen bir tek sayı ise;
oldu˘ gundan, r ne olursa olsun, toplam 3’e bölünür. x = 3k + 1 ifadesinde k çift olmalı; yani
x = 3 (2n) + 1 = 6n + 1

veya
x = 3k + 2 ifadesinde k tek olmalı; yani
3 (2n + 1) + 2 = 6n + 5
olmalıdır. O halde; 3’e bölünemeyen tek sayıları
3’e bölündü˘ günde farklı kalanı veren üç 6n 1
sayının toplamının 3’e bölündü˘ günü gösteriniz.
ile göstermek mümkündür.
3’e bölündü˘ günde farklı kalanı veren üç
sayı,
3k + 0; 3m + 1 ve 3s + 2
olsun. Bunların toplamı,
3k + 3m + 3s + 3 = 3 (k + m + s + 1)
oldu˘ gundan 3’e bölünür.