Page 102 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 101
3600 sayısının çift pozitif bölenlerinin 108000 sayısının pozitif bölenlerinin kaç
toplamı kaçtır? tanesi 8’e bölünür ama 9’a bölünmez?

5 3 3
2m sayısının, 3600’ün bir böleni olması 108000 = 2 3 5 biçiminde asal
için, m sayısının da 1800’ün böleni olması gerekir. O çarpanlarına ayrılabilir. Buna göre, istedi˘ gimiz pozitif
halde, 3600 sayısının çift pozitif bölenlerinin toplamını bölenler,
bulmak için, 1800 sayısının pozitif bölenlerinin 2 3 5 : 3 a 5; 0 b 1 ve 0 c 3
a b c
3 2 2
toplamını bulup 2 ile çarpalım. 1800 = 2 3 5
ko¸sulunu sa˘ glayan sayılardır. Yani,
oldu˘ gundan,
a sayısı 3, 4, 5;
3
3
4
2 1 5 1 3 1
S (1800) = = 6045 b sayısı 0 ve 1;
2 1 5 1 3 1 c sayısı ise 0, 1, 2, 3 olabilir.
olur ve yanıt 2 6045 = 12 090 olur. Dolayısıyla, istenen ¸sekildeki sayıların sayısı :
3 2 4 = 24
4 2 2
2. Yol : 3600 = 2 3 5 oldu˘ gundan,
2 3 4 2 2 olarak bulunur.
2 + 2 + 2 + 2 1 + 3 + 3 1 + 5 + 5
= 30 13 31 = 12 090
olarak bulunabilirdi (Neden?).

5400 sayısının pozitif bölenlerinin kaç
tanesi 8’e bölünür ama 9’a bölünmez?
4
10 sayısının pozitif bölenlerinden çift
olanlarının toplamını bulunuz.
4
10 sayısının çift bölenleri
1 a 4 ve 0 b 4
a b
olmak üzere 2 5 formundadır. Bunların toplamını Yanıt : 6.
2 3 4 2 3 4
2 + 2 + 2 + 2 1 + 5 + 5 + 5 + 5
çarpımı ile gösterebiliriz. Buradan; istenen toplam
30 781 = 23 430
elde edilir.

2 ve 9’a bölünebilen bir sayının tam olarak
15 pozitif böleni varsa; bu sayı 5’e bölündü˘ günde
3
12 sayısının pozitif bölenlerinden çift kalan ne olur? (U ˙ IMO - 1998)
olanlarının toplamını bulunuz.
2
n = 2 3 m yazılabilir. Bölen sayısı 15
oldu˘ gundan; 3 5 yani sadece iki asal çarpan olabilir.
Yani m sayısının asal çarpanları sadece 2 ve 3 olabilir.
a b
O halde; n = 2 3 denilirse,
(a + 1) (b + 1) = 3 5
e¸sitli˘ gine göre, (a; b) = (2; 4) veya (4; 2) olur. O halde;
2 3 4 5 6 2 3
Yanıt : 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 1 + 3 + 3 + 3 = 2 4 4 2
n = 2 3 = 324 veya n = 2 3 = 144
5040.
olabilir. Her iki durumda da 5’e bölümünden kalan 4
bulunur.