Page 107 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
106 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
1001 ile aralarında asal olan üç basamaklı 1’den 72’ye kadar olan sayılardan kaçı,
bir sayının 12 pozitif böleni vardır. Bu sayının yan 72 ile aralarında asaldır?
yana yazılmasıyla elde edilen altı basamaklı sayının
kaç pozitif böleni olacaktır? (UAMO- 1997)

Yanıt : 96.
Yanıt : 24.

F Euler Formülü F 1 ile 360 arasında 2; 3 veya 5’e

bölünemeyen kaç tamsayı vardır?
Bir n sayısından küçük olan ve n sayısı ile aralarından
asal olan sayıların sayısını veren formüldür. n > 1
Klasik yöntemimize göre,
sayısının asal çarpanlara ayrılmı¸s hali;
a b
n = p p p c k 360 2 360 3 360 5 360 6
1 2
olmak üzere; n sayısından küçük olan ve n ile ar- - 360 180 - 360 120 - 360 72 - 360 60
alarında asal olan sayıların sayısı : 00 00 00 00
a a 1 b b 1 c c 1 360 10
p p p p p p 360 15 360 30
1 1 2 2 k k
çarpımına e¸sittir. Bu çarpımı E (n) ile gösterece˘ giz. - 360 36 - 360 24 - 360 12
E (n) ifadesine n sayısının Euler De˘ geri denir. 00 00 00
3 2 1
Örne˘ gin, n = 2 3 5 için
3 2 2 1 1 0
E (n) = 2 2 3 3 5 5 = 96 oldu˘ gundan,
180 + 120 + 72 60 36 24 + 12 = 264
’dır.
oldu˘ gundan, 2; 3 veya 5’e bölünemeyenlerin sayısı;
360 264 = 96
bulunur.
2
3
1’den 100’e kadar olan sayılardan kaçı, 2. Yol. 360 = 2 3 5 oldu˘ gundan, Euler formülünden,
100 ile aralarında asaldır? 3 2 2 0
E (360) = 2 2 3 3 5 5 = 96
Bu soruyu önce, dahiliyet hariciyet bulunur.
prensibini de kullanarak klasik olarak çözelim.
2
2
100 = 2 5 oldu˘ gundan; 1’den küçük 2 veya 5’e
bölünemeyen kaç sayı oldu˘ gunu bulmalıyız.
100 2 100 5 100 10
- 100 50 - 100 20 - 100 10
00 00 00 1’den büyük, 35’den küçük 2; 3 veya 5’e
bölünemeyen kaç tamsayı vardır?
oldu˘ gundan, 2’ye bölünen 50; 5’e bölünen 20 ve
10’a bölünen 10 sayı vardır. O halde; 2 veya 5’e
bölünemeyen;
100 (50 + 20 10) = 40
sayı vardır.
2. Yol : Euler Formülü’nden
2
2
100 = 2 5 ise, Yanıt : 8. (1 ile 30 arasında 7 tane ve 31 sayısı)
2 1 2 1
E (100) = 2 2 5 5 = 2 20 = 40
bulunur.