Page 108 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 107

F Bir sayıyla aralarında asal sayıların toplamı F 50’den küçük olan ve 50 ile aralarında

asal olan pozitif tamsayıların toplamı kaçtır?
n sayısından küçük olan ve n ile aralarında asal olan
tüm sayıların toplamı :
n E (n)
2
de˘ gerine e¸sittir.

Çünkü, bir m sayısı, n ile arasında asal ise, (n m)
sayısı da n ile arasında asaldır. Bu iki sayının toplamı
da n olur. Yani, istenen toplam, n ile aralarında asal
sayıların sayısının yarısı kadar n’nin toplamına e¸sittir.
Yanıt : 500:

Kaç pozitif tamsayı için, kendisinden
küçük ve kendisiyle aralarında asal olan sayıların
sayısı tamkaredir?

2 2k+1 formundaki sayılar için ko¸sul
sa˘ glanır. Gerçekten,

E 2 2k+1 = 2 2k+1 2 2k = 2 2k (2 1) = 2 2k
60’dan küçük olan ve 60 ile aralarında oldu˘ gu görülür. Yani,
asal olan pozitif tamsayıların toplamı kaçtır? 3 5 7 9
2 ; 2 ; 2 ; 2 ; :::
sayıları istenen ¸sekildedir. Yanıt, sonsuzdur.
2
60 = 2 3 5
oldu˘ gundan,
2 1 1 0 1 0
E (60) = 2 2 3 3 5 5 = 16
bulunur. Yani, 60’dan küçük olan ve 60 ile aralarında
asal olan 16 sayı vardır. Bu sayıları
Kendisinden küçük ve kendisiyle
x 1 ; x 2 ; :::; x 16
aralarında asal olan sayıların sayısı 18’e bölünen
ile gösterelim.
iki sayı bulunuz.
S = x 1 + x 2 + + x 16
k
n = 19 ¸seklindeki sayıları göz önüne
toplamını bulaca˘ gız. Bir x i sayısı ile 60 sayısı arasında
alalım. Buna göre,
asal ise; 60 x i sayısı ile 60 sayısı da aralarında
k k k 1 k 1
asaldır. Buna göre; E 19 = 19 19 = 19 (19 1)
= 18 19 k 1
S = x 1 + x 2 + + x 16
= (60 x 1 ) + (60 x 2 ) + + (60 x 16 ) oldu˘ gundan,
= 60 16 S k
n = 19
e¸sitli˘ ginden
¸ seklindeki sayılardan küçük ve bu sayıyla aralarında
2S = 60 16 ) S = 480 asal olan sayıların sayısı 18’e her zaman tam bölünür.
˙ 2
bulunur. Iki sayı 19 ve 19 alınabilir.