Page 109 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
108 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir

F Sayının rakamları toplamıyla farkı F Kendisinden, basamaklarının toplamı

çıkarıldı˘ gında 2007 elde edilen kaç pozitif tamsayı
Herhangi n pozitif tamsayısının rakamları toplamı vardır? (U ˙ IMO - 2007)
T (n) ise, n T (n) sayısı 9’un katıdır.Yani, k 2 Z +
olmak üzere
n T (n) = 9k

formunda yazılabilir. n bir rakam ise, k = 0 olacaktır.
Ayrıca, T (n) sayısı, n sayısının rakam sayısının 9
katından büyük olamaz.

Örne˘ gin, n = 1234 için,
T (n) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
ve
Yanıt : 10 tane : 2010, 2011,..., 2019.
n T (n) = 1234 10 = 1224 = 9 136
olarak bulunur.

Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı
T (n) ; n sayısının rakamları toplamını
bir n sayısı için, T (n) ; n sayısının rakamları göstermek üzere,
toplamını göstermek üzere,
n + T (n) = 100
n T (n) = 117
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç n sayısı vardır?
ise, n hangi sayılar olabilir?
n sayısının iki basamaklı olaca˘ gı açıktır.
abc (a + b + c) = 117 oldu˘ guna göre, Ayrıca,
100a + 10b + c a b c = 117 n + T (n) = 100
99a + 9b = 117
verilmi¸s.
olacaktır. Buradan, 9 (11a + b) = 9 13 e¸sitli˘ ginden,
11a + b = 13 bulunur. Buna göre, n T (n) = 9k
a = 1 ve b = 2 oldu˘ gunu yukarıda belirtmi¸stik. Bu iki e¸sitli˘ gi taraf
olmalıdır. c ise sayının rakamları birbirinden farklı tarafa çıkarırsak n’ler yok edilir.
olması için, f0; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g rakamlarından 2T (n) = 100 9k
herhangi biri olabilir. Yani,
elde edilir. n sayısı iki basamaklı oldu˘ gundan, T (n)
120; 123; 124; 125; 126; 127; 128; 129 en fazla 18 olabilir. Ayrıca, son e¸sitli˘ ge göre k çift
sayıları istenen ko¸sulu sa˘ glarlar. olmalıdır. k = 6 olamaz. Bu durumda, T (n) > 18
çıkar. k; 10’dan büyük de olamaz. Çünkü, T (n)
negatif olur. O halde, k = 8 veya k = 10 için bakalım.
k = 8 ise,
Üç basamaklı bir n sayısı için, T (n) ; 100 72
T (n) = = 14
n sayısının rakamları toplamını göstermek üzere, 2
n T (n) = 207 ise, n hangi sayılar olabilir? olaca˘ gından,
n = 100 T (n) = 86
bulunur ki, ko¸sul sa˘ glanır.
k = 10 ise,
100 90
T (n) = = 5
2
olaca˘ gından, n = 95 bulunur ki, ko¸sul sa˘ glanmaz.
Yanıt : 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219.
O halde, istenen ¸sekilde sadece 1 sayı vardır.