Page 112 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 111

A¸sa˘ gıdaki EBOB’ları hesaplayınız. F EKOK (En Küçük Ortak Kat) F

a) EBOB(504; 1470) =? ˙ Iki veya daha fazla sayının her birine bölünen en küçük
b) EBOB(840; 1980; 3900) =? pozitif tamsayıya bu sayıların en küçük ortak katı
denir.
Örne˘ gin, 4 ve 6 sayılarının en küçük ortak katı 12’dir.

a; b iki tamsayı olmak üzere; a ve b sayılarının ortak
katlarının en küçü˘ gü;
EKOK (a; b)
Yanıt : a) 42. b) 60.
veya kısaca
[a; b]

ile gösterilir. EKOK’u bulmak için sayılar asal çarpan-
larına ayrılır ve tüm sayılarda ortak olanlar bir kez,
di˘ gerleri aynen yazılıp çarpılır.

42 ile en büyük ortak böleni 1’den büyük
olan ve 20’den küçük olan n pozitif tamsayılarının
toplamı nedir?

42 = 2 3 7 oldu˘ gundan; 42 ile n sayısının
ortak böleninin 1’den büyük olması için; n sayısının 2; EKOK(12; 18; 20) =?
3 veya 7 çarpanlarından herhangi birini bulundurması
yeterlidir. 1; 5; 11; 13; 17 ve 19 sayıları 1 n 20 Asal çarpanlarına ayırıp, üçünde de ortak
aralı˘ gındaki; 42 ile aralarında asal olan; yani; 2; 3 veya olan çarpanları daire içine alalım. Bunları sadece 1
7 ile ortak böleni olmayan sayılardır. 1 n 20 kez çarpaca˘ gız. Çünkü, ortak katların en küçü˘ günü
aralı˘ gındaki tüm sayıların toplamından; bu aralarında arıyoruz.
asal olan 6 sayının toplamını çıkarırsak; 42 ile ortak
böleni 1’den büyük olan tüm n sayılarının toplamını 12 2 18 2 60 2
bulmu¸s oluruz. 6 2 9 3 30 2
Buna göre; 3 3 3 3 15 3
20 21 1 1 5 5
1 + 2 + + 20 = = 210 1
2
oldu˘ gundan, ortak böleni 1’den büyük olanlar; EKOK(12; 18; 20) de˘ gerini bulmak için, ortak olmayan
210 (1 + 5 + 11 + 13 + 17 + 19) = 144 tüm çarpanlar, tüm ortak çarpanlardan birer tane
alınarak çarpılır.
bulunur.

(Ortak Çarpanlar) (Ortak Olmayan Çarpanlar)
(2 3) (2 3 2 5)
e¸sitli˘ ginden EKOK(12; 18; 20) = 360 bulunur.

210 ile en büyük ortak böleni 1’den
büyük olan ve 1 n 25 ko¸sulunu sa˘ glayan n
tamsayılarının toplamı nedir? (UMO - 1996)
Alper, bilyelerini 4’er , 5’er , 6’¸sar
saydı˘ gında her defasında 1 bilyesi artıyor.Buna
göre, Alperin en az kaç tane bilyesi vardır?

Önce, 4, 5 ve 6’nın en küçük ortak katını
bulalım.
EKOK(4; 5; 6) = 60
Yanıt : 241.
olaca˘ gından, Alper’in en az 60 + 1 = 61 bilyesi vardır.