Page 113 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
112 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir

4
F En Genel Halde EBOB ve EKOK’un Bulunması F 10 10 ve 120 sayılarının EBOB’unu ve

EKOK’unu bulunuz.
Öncelikle sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Aynı asal
çarpanın üssü küçük olanı alarak çarparsak EBOB’u,
aynı asal çarpanın üssü büyük olanı alarak çarparsak
EKOK’u buluruz.
Yani, A ve B sayılarının asal çarpanlarına ayrılı¸sı
A = p p p r k ve B = p p p s k
s 1 s 2
r 1 r 2
1 2 k 1 2 k
4
olsun. i = 1; 2; :::; k için, r i ve s i sayı üslerinin küçük Yanıt : EKOK = 2 3 5 ve EBOB = 2 5 :
12 4 10
10
olanlarını m i ve büyük olanlaırnı da M i ile gösterelim.
Bu durumda;
p
EBOB (A; B) = p m 1 m 2 p m k ve
1
k
2
3
4
50 ve 20 sayılarının her ikisini de bölen
EKOK (A; B) = p M 1 M 2 p M k kaç pozitif tamsayı vardır?
p
1
2
k
olur.
Bu iki sayının EBOB’unu bulalım.
4
4 8
6 3
3
50 = 2 5 ve 20 = 2 5
4 3 4 3
oldu˘ gundan, EBOB 50 ; 20 = 2 5 olur. O halde,
her iki sayıyı da bölen pozitif tamsayı sayısı
(4 + 1) (3 + 1) = 20
olarak bulunur.
360 ve 2700 sayılarının EBOB ve
EKOK’unu bulunuz.
2 3 2
3 2
360 = 2 3 5 ve 2700 = 2 3 5 ¸seklinde
asal çarpanlarına ayrılır. Buna göre,
2 2
EBOB(360; 2700) = 2 3 5 = 180 2520 ve 3960 sayılarının her ikisini de
olur (Ortak asal çarpanlardan üssü küçük olanı aldık). bölen kaç pozitif tamsayı vardır?
3 3 2
EKOK(360; 2700) = 2 3 5 = 5400
olur (Asal çarpanlardan üssü büyük olanı aldık).
Yanıt : 24.

6
5
60 sayısı ile 50 sayılarının EBOB’unu ve
3
4
EKOK’unu bulunuz. 50 veya 20 sayılarını bölen kaç pozitif
tamsayı vardır?
10 5 5
5
6
6 12
60 = 2 3 5 ve 50 = 2 5
oldu˘ gundan; Sorudaki veya ba˘ glacı çok önemli bir
6 5 6 5
EBOB 50 ; 60 = 2 5 ve ayrıntıdır. Dolayısıyla burada kümelerdeki dahiliyet
4
4 8
hariciyet prensibine ihtiyaç duyaca˘ gız. 50 = 2 5
6
10 5 12
EKOK 50 ; 60 5 = 2 3 5
sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 5 9 = 45;
olur. 3 6 3
20 = 2 5 sayısının pozitif bölenlerinin sayısı
7 4 = 28 ve her ikisini de bölen 20 oldu˘ gundan (bir
önceki örnekten), istenen yanıt dahiliyet hariciyet
prensibinden,
45 + 28 20 = 53
bulunur.