Page 114 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 113
4
5
40 sayısının böleni olup; 50 sayısının En küçük ortak katları 120 olan kaç farklı
böleni olmayan kaç pozitif tamsayı vardır? iki pozitif tamsayı bulunabilir? (Örne˘ gin, bir tanesi
(30; 40) ikilisidir. EKOK’ları 120’dir.)

Bu iki sayıyı m ve n ile gösterelim.
5
15 5
40 = 2 5
3
5
oldu˘ gundan; 40 sayısının, 120 = 2 3 5
oldu˘ gundan,
(15 + 1) (5 + 1) = 96
c
x
y
b
a
m = 2 3 5 ve n = 2 3 5 z
4
tane pozitif böleni vardır. Bu bölenlerden, 50 ’ın
bölenleri olanları çıkaralım. Bunun için, her ikisinin formunda olacaktır. EKOK’un tanımı gere˘ gi,
bölenlerinin sayısını bulmalıyız. a ve x’in en büyü˘ gü 3,
b ve y’nin en büyü˘ gü 1,
4 8
4
50 = 2 5
c ve z’nin en büyü˘ gü 1 olmalıdır.
ve O halde, bunları kaç farklı ¸sekilde seçebilece˘ gimizi
4 5 4 5 görelim.
EBOB 50 ; 40 = 2 5
(a; x) ikilisi, (0; 3) ; (1; 3) ; (2; 3) ; (3; 3) ;
oldu˘ gundan, her ikisinin de böleni olan (3; 2) ; (3; 1) ; (3; 0) olabilir.
(4 + 1) (5 + 1) = 30 (b; y) ikilisi, (0; 1) ; (1; 0) ; (1; 1) olabilir.
(c; z) ikilisi, (0; 1) ; (1; 0) ; (1; 1) olabilir.
5
pozitif tamsayı vardır. O halde, 40 ’nin böleni olup; Sonuç olarak, bu üç gruptaki, her gruptan seçilen, her
4
50 ’ın böleni olmayan,
bir ikili için farklı iki sayı elde edilece˘ ginden,
96 30 = 66
7 3 3 = 63 1 = 62
pozitif tamsayı vardır.
farklı iki pozitif tamsayı bulunabilir. Farklı iki sayı
aradı˘ gımız için, (3; 3) ; (1; 1) ve (1; 1) durumunu
çıkardık. Örne˘ gin,
(a; x) = (3; 2) ; (b; y) = (1; 0) ve (c; z) = (0; 1)
alınırsa,
1
3
2
1
0
0
m = 2 3 5 = 24 ve n = 2 3 5 = 20
elde edilir.
EKOK (24; 20) = 120
60 50 sayısının böleni olup; 50 60 sayısının bulunur.
böleni olmayan pozitif sayıların sayısını bulunuz.
(UAMO- 2004)

2
50
60 50 = 2 3 5 50 = 2 100 3 5 50
sayısının pozitif bölenlerinin sayısı
101 51 51 = 101 51 2
En küçük ortak katları 48 olan kaç farklı
olur. Bu sayıdan 60 50 ve 50 60 sayılarının ortak pozitif
iki pozitif tamsayı bulunabilir?
bölenlerinin sayısı çıkarılırsa istenen elde edilir.

60
50 60 = 2 5 2 60 = 2 5 120
oldu˘ gundan dolayı,
50 60 60 50
EBOB 60 ; 50 = 2 5
bulunur. Buradan, 60 50 ve 50 60 sayılarının pozitif
bölenleri sayısının 61 51 oldu˘ gu görülür. O halde,
50
60
60 nin böleni olup; 50 ın böleni olmayan pozitif
sayıların sayısı
2
101 51 61 51
Yanıt : 9 2 = 18.
bulunur.