Page 115 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
114 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
En küçük ortak katları 60 olan kaç farklı

3 2 1
EKOK (m; n) = 2 5 7 üç pozitif tamsayı bulunabilir? (Örne˘ gin, bir tanesi
(20; 30; 15) üçlüsüdür. EKOK’ları 60’tır.)
olacak ¸sekilde kaç tane (m; n) pozitif tamsayı ikilisi
vardır? Sayıları m; n; k ile gösterelim.
2
60 = 2 3 5
oldu˘ gundan,
a b c
x y z
m = 2 5 7 ve n = 2 5 7 a b c
m = 2 3 5 ;
formunda olmalıdır. x y z
n = 2 3 5 ;
3 2 1
EKOK (m; n) = 2 5 7 r s t
k = 2 3 5
oldu˘ gundan,
a ve x’in büyük olanı 3; formunda olmalıdır. (a; x; r) üçlüsü, en az biri 2 olması
ko¸suluyla
b ve y’nin büyük olanı 2 ve
c ve z’nin büyük olanı da 1 (2; 0; 0) ; (0; 2; 0) ; (0; 0; 2) ; (2; 1; 1) ;
olmak üzere m ve n sayıları seçilebilir. Buna göre, (1; 2; 1) ; (1; 1; 2) ; (2; 2; 0) ; (0; 2; 2) ;
(a; x) ikilisi,
(2; 0; 2) ; (2; 2; 1) ; (1; 2; 2) ; (2; 1; 2) ;
f(0; 3) ; (3; 0) ; (1; 3) ; (3; 1) ; (2; 3) ; (3; 2) ; (3; 3)g (2; 1; 0) ; (2; 0; 1) ; (1; 2; 0) ; (1; 0; 2) ;
olacak ¸sekilde 7 tane; (b; y) ikilisi, (0; 1; 2) ; (1; 0; 2) ; (2; 2; 2)
f(0; 2) ; (2; 0) ; (1; 2) ; (2; 1) ; (2; 2)g
biçimindeki 19 durumdan biri olabilir.
olacak ¸sekilde; 5 tane ve (c; z) ikilisi de, Di˘ ger taraftan, (b; y; s) üçlüsü en az biri 1 olması
ko¸suluyla,
f(0; 1) ; (1; 0)g
olacak ¸sekilde; 2 tane seçilebilir. Çarpım prensibine (1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1) ; (1; 0; 1) ;
göre; toplam : (1; 1; 0) ; (0; 1; 1) ; (1; 1; 1)
7 5 2 = 70 biçimindeki 7 durumdan biri olabilir. Benzer ¸sekilde,
(c; z; t) üçlüsü için de, 7 durum olabilir. Sonuç olarak,
tane (m; n) ikilisi vardır.
19 7 7 = 931
farklı üç pozitif tamsayı bulunabilir.

299 sayısı 12 tane pozitif tamsayının
toplamı oldu˘ guna göre; bu 12 sayının EKOK’u en
küçük kaç olabilir?
3 2 2
EKOK(m; n) = 2 3 5 olacak ¸sekilde
kaç tane (m; n) pozitif tamsayı ikilisi vardır?
12 25 = 300
oldu˘ gundan; sayılardan en az biri 25’den büyük
olmalıdır. Buna göre; EKOK acaba 26 olabilir mi?
EKOK = 26 olması için sayılar 26; 13, 2 ve 1’den
olu¸smalıdır. 11 tane 26 ve 1 tane 13 alınırsa,
26 11 + 13 = 299
Yanıt : 7 5 5 = 175.
olaca˘ gından, EKOK en küçük 26 olabilir.