Page 117 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
116 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
11n + 3
F Öklid Algoritması F ; (n 2 N) kesrini sadele¸stiren
23n + 2
k 6= 1 do˘ gal sayısı kaçtır? (UAMO- 1999)
EBOB’un bulunması için ikinci yol olarak vermi¸stik.
¸ Simdi, bu yolu tekrar hatırlayıp, harfli ifadelerde Öklid
algoritmasının nasıl kullanıldı˘ gını görelim.
˙ Iki sayının ortak böleni, bu sayıların tamsayı katlarının
farkını da böler. Bu özelli˘ gi kullanarak iki sayının
EBOB’ini bulmak mümkündür.

Örne˘ gin, EBOB(247; 323)’ü hesaplayalım. Yanıt : 47:
Bunun için, küçük olan sayının bir tamsayı katını büyük
olan sayıdan çıkaraca˘ gız. Buna göre,
323 247 = 76
oldu˘ gundan,
n bir pozitif tamsayı olmak üzere, 3n + 5
EBOB(247; 323) =EBOB(247; 76) ve 7n + 8 sayılarının EBOB’u kaç farklı pozitif
bulunur. ¸Simdi de, 247’den 76’nın 3 katını çıkaralım. tamsayı olabilir?
247 3 76 = 19 oldu˘ gundan,
EBOB(247; 76) =EBOB(19; 76) Öklid algoritmasını kullanalım.
olur. 76 = 4 19 oldu˘ gundan, EBOB (3n + 5; 7n + 8)
EBOB (247; 323) = 19 = EBOB (3n + 5; 7n + 8 2 (3n + 5))
bulunur. = EBOB (3n + 5; n 2)
= EBOB (3n + 5 3 (n 2) ; n 2)
= EBOB (11; n 2)
ve 11 asal oldu˘ gundan, 3n + 5 ve 7n + 8 sayılarının
EBOB’i ya 1 veya 11 olabilir.
EBOB’un 11 olması için, n 2 sayısının 11’e
bölünmesi gerekir. Örne˘ gin, n = 13 ise sayılar,
3 13 + 5 = 44 ve 7 13 + 8 = 99 olur ki, bunların
gerçekten EBOB’u 11’dir.

n sayısı 1001’den büyük bir tamsayı
n bir pozitif tamsayı olmak üzere, oldu˘ guna göre, 11n + 9 ve 3n + 2 aralarında asal
olmayacak ¸sekilde en küçük n sayısını bulunuz.
2n 3
5n 1 Öklid algoritmasını kullanırsak,
kesiri hangi pozitif tamsayı ile sadele¸stirilebilir?
EBOB (11n + 9; 3n + 2)
= EBOB (11n + 9 3 (3n + 2) ; 3n + 2)
2n 3 = EBOB (2n + 3; 3n + 2)
5n 1 = EBOB (2n + 3; 3n + 2 (2n + 3))
kesiri bir a sayısı ile sadele¸stirilebiliyorsa, a sayısı, = EBOB (2n + 3; n 1)
2n 3 ve 5n 1 sayılarının her ikisinin de bölenidir. = EBOB (2n + 3 2 (n 1) ; n 1)
Buna göre, a sayısı, farklarını, yani,
= EBOB (5; n 1)
(5n 1) 2 (2n 3) = n + 5
olur. Yani, EBOB, 5 olabilir. Bunun için, n 1
sayısını da bölmelidir. Benzer dü¸sünce ile, a sayısı, sayısı 5’in katı olmalıdır. n sayısı 1001’den büyük
hem 2n 3 hem de, n + 5 sayısını bölüyorsa, oldu˘ gundan, en küçük n sayısı için,
2 (n + 5) (2n 3) = 13 n 1 = 1005 ve n = 1006
sayısını da bölmelidir. O halde, a sayısı 13’tür. alınabilir.