Page 116 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 115
1519 sayısı 25 tane pozitif tamsayının En küçük ortak katları 120 ve en büyük
toplamı oldu˘ guna göre; bu 25 sayının EKOK’u en ortak bölenleri 10 olan kaç farklı sayı ikilisi vardır?
küçük kaç olabilir?
EBOB(a; b) EKOK(a; b) = a b
25 60 = 1500 oldu˘ gundan; sayılardan en oldu˘ gundan,
az biri 60’dan büyük olmalıdır. Buna göre; EKOK en
a b = 1200 = 2 2 3 (10) (10)
küçük olarak 61 olabilir.
olmalıdır. a ve b’nin her ikisinde de 10 çarpanı
EKOK’un 61 olup olamayaca˘ gını inceleyelim. 61 asal
bulunması gerekir. Buna göre, (a; b) ikilisi,
sayıdır ve EKOK = 61 olması için sayılar 61 ve 1’den
olu¸smalıdır. (20; 60) ; (40; 30) ; (10; 120)
61 24 + 1 = 1465 durumlarından biri olabilir. Yani, üç farklı sayı ikilisi
vardır.
oldu˘ gundan; toplam 1519 olamaz.
O halde; EKOK = 61 olamaz.
EKOK = 62 olabilir mi? 62 = 2 31 oldu˘ gundan
sayılar; 62 ve 31 sayılarından olu¸sturulabilir. Buna
göre;
62 24 + 31 = 1519
oldu˘ gundan EKOK en küçük 62 olabilir. a ve b do˘ gal sayılarının ortak bölenlerinin
en büyü˘ gü 9, ortak katlarının en küçü˘ gü ise 270’dir.
Buna göre, bu iki sayının toplamı en küçük kaç
olabilir? (Do˘ gu¸s Ün. Fen Liseleri Y. 2005)

EBOB(a; b) EKOK(a; b) = a b
oldu˘ gundan,
5
a b = 9 270 = 3 2 5
352 sayısı 17 tane pozitif tamsayının
olur. Bu iki sayının olabilecek en küçük toplamını
toplamı oldu˘ guna göre; bu 17 sayının EKOK’u en
bulmak için, a ve b’yi birbirine en yakın olacak ¸sekilde
küçük kaç olabilir?
seçmeliyiz. Her iki sayının da 9’a bölünebildi˘ gi de
gözönüne alınırsa, a = 9 5 ve b = 9 6 seçilebilir.
Bu durumda en küçük toplam 45 + 54 = 99 olarak
bulunur.

Yanıt : 22 (15 tane 22 ve 2 tane 11) :

EBOB’ları 48, toplamları ise 576 olacak
¸ sekilde kaç pozitif tamsayı ikilisi vardır?

Bu iki sayıya x ve y diyelim. m ve n
aralarında asal olmak üzere,
x = 48m ve y = 48n

F EKOK ve EBOB’un Çarpımı F biçiminde yazılabilir. Toplamları 576 ise,

x + y = 48 (m + n) = 576
˙ Iki sayının EKOK’u ile EBOB’larının çarpımı, bu iki
sayının çarpımına e¸sittir. Yani, e¸sitli˘ ginden, m + n = 12 olacaktır. m ve n aralarında
asal olaca˘ gından (1; 11) veya (5; 7) ikililerinden biri
a b = EKOK (a; b) EBOB [a; b]
olabilir. Bu durumda, bu sayılar 48; 528 veya 240;
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır. 336 ikilileri olabilir.