Page 118 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 117
7n 3 m(n + 3) 1
ifadesi 100’den küçük kaç tane n kesiri sadele¸secek
8n 5 m(n + 3) + n + 2
do˘ gal sayısı için sadele¸stirilebilir?
¸ sekilde kaç tane (m; n) pozitif tamsayı çifti vardır?
(UAMO- 2005)

Yanıt : 9.
Yanıt : 1.

n > 5 bir tamsayı olmak üzere;
2n + 13 ve 2n + 27 6 7 8 15 16
; ; ; :::; ; ;
sayılarının ortak bölenlerinin en büyü˘ gü n 4 ise; n+9 n+10 n+11 n+18 n+19
bunların ortak katlarının en küçü˘ gü nedir? (U ˙ IMO kesirlerinin sadele¸stirilemez olması için n’nin
- 2004) alabilece˘ gi en küçük pozitif tamsayı kaçtır?

Öklid algoritmasına göre, Hiçbir kesirin sadele¸smemesi için;
EBOB(2n + 13; 2n + 27) = EBOB(2n + 13; 14) ((n + 9) ; 6) = 1 ise, ((n + 3) ; 6) = 1
olaca˘ gından; 2n + 13’ün tek oldu˘ gu da göz önüne ((n + 7) ; 7) = 1 ise, ((n + 3) ; 7) = 1
alınırsa; :::
; ((n + 19) ; 16) = 1 ise, ((n + 3) ; 16) = 1
EBOB(2n + 13; 14) = 1 veya 7
olması gerekir. Bunu sa˘ glayan en küçük n sayısını
elde edilir. n > 5 oldu˘ gundan; n 4 = 7 denkleminden
bulalım.
n = 11 olur. Buradan,
Tüm e¸sitliklerden görülür ki; n + 3; 6’den 16’ya kadar
2n + 13 = 2 11 + 13 = 35, hiçbir sayıya bölünmemelidir. Böylece; n + 3 sayısını
2n + 27 = 2 11 + 27 = 49 16’dan büyük en küçük asal sayı seçerek istenen elde
olur. O halde; edilir. Yani
EKOK (35; 49) = 7 5 7 = 245 n + 3 = 17 ise, n = 14
bulunur. bulunur.

k > 1 bir tamsayı ve k sayısının 17’ye
3 4 5 16 17
bölümünden kalan 9’dan farklı ise; 2k 1 ve 9k + 4 ; ; ; :::; ;
n+11 n+12 n+13 n+24 n+25
tamsayılarının en büyük ortak böleni kaçtır? (UMO -
1993) kesirlerinin sadele¸stirilemez olması için n’nin
alabilece˘ gi en küçük pozitif tamsayı kaçtır?

Yanıt : (2k 1; 9k + 4) = (17; k + 8) : Ko¸sul gere˘ gi
EBOB sadece 1 olabilir. Yanıt : n = 11: