Page 119 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
118 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
A¸sa˘ gıdaki kesirlerinin hiçbiri
sadele¸smeyecek biçimde alınmı¸s n do˘ gal sayılarının 5 (EBOB(A; B)) + EKOK(A; B) = A B
en küçü˘ gü kaçtır? (UAMO- 2003)
denklemini sa˘ glayan kaç tane (A; B) pozitif tamsayı
3n + 11 + 13 3n + 12 + 14 3n + 13 + 15
; ; ; çifti vardır?
11 12 13
3n + 54 + 56 3n + 55 + 57
:::; ; EBOB (A; B) = d olsun. Bu durumda, x
54 55 ve y aralarında asal olmak olmak üzere,
A = dx ve B = dy
yazılabilir. EKOK (A; B) = dxy oldu˘ gu da gözönüne
alınırsa,
5 (EBOB(A; B)) + EKOK (A; B) = A B
denklemi
Yanıt : 19. 5d + dxy = dx dy = d xy
2
olur. Her iki taraf d’ye bölünürse,
5 + xy = dxy ve buradan da, dxy xy = 5
olur. Yani, xy (d 1) = 5 olmalıdır. Bu e¸sitli˘ ge göre,
d; ya 2 ya da 6 olabilir.
d = 2 ise, x = 1; y = 5 veya x = 5; y = 1 olur.
d = 6 ise, x = y = 1 olur.
2
n + 3n + 1
denkleminin sadele¸stirilemez Sonuç olarak,
n + 4n + 3
2
oldu˘ gunu gösteriniz. (A; B) = (dx; dy) = (2; 10), (10; 2) veya (6; 6)
olabilir. O halde, üç tane (A; B) ikilisi vardır.
2
2
n + 3n + 1 ve n + 4n + 3 ifadelerinin
EBOB’u,
2 2
n +3n + 1; n +4n + 3
2
= n +3n + 1; n+2
2
= n +3n + 1 n (n + 2) ; n + 2
= (n + 1; n + 2)
= (n + 1; 1) EBOB(A;B) + EKOK(A; B) = A + B + 4
=1 denklemini sa˘ glayan kaç tane (A; B) pozitif tamsayı
çifti vardır? (UAMO- 2005)
oldu˘ gundan hiç bir n sayısı için sadele¸stirilemez.
EBOB (A; B) = d ise, x ve y aralarında
asal olmak üzere,
A = dx ve B = dy
yazılabilir. EKOK (A; B) = dxy oldu˘ gu da gözönüne
alınırsa,
EKOK (A; B) + EBOB (A; B) = A + B + 4
F EBOB biliniyorsa sayılar nasıl yazılabilir? F
denklemi
EBOB(A; B) = d ise; x ve y aralarında asal sayılar d + dxy = dx + dy + 4
olmak üzere,
olur. Buradan, d (x 1) (y 1) = 4 elde edilir.
A = dx ve B = dy d = 1; 2; 4 durumlarını ayrı ayrı inceleyelim;
biçiminde yazılabilir. d = 1 için (x = 5; y = 2) veya (x = 2; y = 5) ;
Ayrıca, d = 2 için (x = 3; y = 2) veya (x = 2; y = 3)
ve d = 4 için çözüm olmadı˘ gından, problemde verilen
EKOK (A; B) = dxy
denklemin pozitif tamsayı çözümleri
olur. (5; 2) ; (2; 5) ; (4; 6) ; (6; 4)
olarak bulunur. O halde denklemin 4 tane pozitif
tamsayı çözümü vardır.