Page 122 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 121
x
F Denklik F 3 + 12x = 102 denklemini sa˘ glayan kaç x
tamsayısı vardır?
x y (mod m) ifadesi,
Denklemi mod 4’de incelersek,
"x mod m’de y’ye denktir"
x
x
¸ seklinde okunur. x y (mod m) ifadesine denklik ya 3 + 12 = 102 (mod 4) ise 3 = 2 (mod 4)
da kongruans adı verilir. Bu gösterim özellikle kalanı elde edilir. Bir önceki örnekte, 3’ün hiçbir tamsayı
bulmak istedi˘ gimiz sorularda gösterim kolaylı˘ gı sa˘ glay- kuvvetinin 2 olamayaca˘ gını görmü¸stük. O halde,
acaktır. verilen denklemi sa˘ glayan x tamsayısı olamaz.
Örne˘ gin, "5 10 ifadesinin 9’a bölümünden kalan kaçtır?"
sorusunu,
"5 10 x (mod 9) ise x =?"
denkli˘ giyle ifade edebiliriz. Yine, 5’in hangi kuvvet-
lerinin 9’a bölümünden kalan 2’dir? sorusunu da
x
"5 2 (mod 9) ise x =?"

¸ seklinde ifade edebiliriz. F F

Matematiksel olarak,
x y (mod m) ise, m sayısı x y’yi böler.
Yani,
x y (mod m) ise, m j x y ise,
x = y + km (k 2 Z)
’dir. x = y + km olması demek, modm’de denkli˘ ge m
ekleyip çıkarmanın denkli˘ gi de˘ gi¸stirmedi˘ gini ifade eder.
F Bir Sayının Birler, Onlar Basama˘ gı F
x m x x + m x + 2m (mod m)
Bir sayının son (birler) basama˘ gındaki rakamı bul- Örne˘ gin, x 5 (mod 7) denkli˘ gini sa˘ glayan x tam-
mak için mod 10’da; son iki rakamını bulmak için sayılarını 5’e 7’nin katlarını ekleyerek veya 5’den 7’nin
mod 100’de; son üç rakamını bulmak için mod 1000’de katlarını çıkararak bulabiliriz.
hesaplama yapılır.
5 14 5 7 5 5 + 7 5 + 14
"3 10 sayısının son iki basama˘ gı kaçtır?"
5 + 21 (mod 7)
sorusu,
olacaktır. Yani, f:::; 9; 2; 5; 12; 19; 26; :::g kümesin-
"3 10 x (mod 100) ise x =?" deki tüm elemanlar mod 7’de birbirine denktir.
¸ seklinde ifade edilebilir.

F Bir Denkli˘ gin Çözüm Kümesi F

x
3 2 (mod 4) denkli˘ gini sa˘ glayan en x y (mod m) denkli˘ ginin çözüm kümesi,
küçük pozitif tamsayı kaçtır? Ç.K. = fx = km + y : k 2 Zg
formundadır. Örne˘ gin, x 2 (mod 5) denkli˘ ginin
x’in de˘ gerine göre inceleyelim.
çözüm kümesi
1
3 3 (mod 4) ;
2
3 1 (mod 4) ; Ç:K: = fx = 5k + 2 : k 2 Zg
3
3 3 (mod 4) ; = f:::; 3; 2; 7; 12; 17; 22; :::g
4
3 1 (mod 4) ; ¸ seklindedir.
:::
oldu˘ gundan, 3’ün hiçbir kuvveti 4’e bölündü˘ günde 2
kalanını veremez.