Page 124 - 8_sf_Dahimatik
P. 124
˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 123
5 saatte bir ilaç içen bir hasta 12’inci Saat ¸su anda 16.00 ise, 2013 saat sonra
ilacını saat 16.00’da alıyor, 25’inci ilacını saat kaçda saat kaç olur?
alır?
12’inci ilacını aldıktan sonra, 25 12 = 13
kez daha ilaç alacaktır. 5 saatte bir ilaç aldı˘ gına göre,
25’inci ilacını, 12’inci ilacını aldıktan 5 13 = 65 saat
sonra alacaktır. Saat dijital olmadı˘ gından, mod24’de
inceleyece˘ giz.
Yanıt : 13.00.
65 17 (mod 24)
oldu˘ gundan, saat 16.00’dan 17 saat sonra 25’inci ilacını
alacaktır.
16 + 17 = 33 9 (mod 24)
˙
Üslü Ifadelerde Modüler Aritmetik
’dir. O halde, ilacını saat 9.00’da alacaktır.
F a ? (mod m)’nin hesaplanması. F
n
n
Yani, a sayısının m’ye bölümünden kalanın bulun-
ması.
a) Öncelikle, a sayısı mod m’de hesaplanarak üslü sayı
daha basit hale getirilir.
Örne˘ gin,
4444 1111 ? (mod 10)
denkli˘ gini 4444 4 (mod 10) oldu˘ gundan,
Ali, 3 günde bir, Berk, 5 günde bir, Cem
ise 6 günde 1 nöbet tutuyorlar. Birlikte ilk nöbetlerini 4 1111 ? (mod 10)
Salı günü tutuyorlar. Buna göre, 10’uncu nöbetlerini ¸ seklinde yazabiliriz.
hangi gün tutarlar?
b) Sırasıyla n sayısına 1,2,... de˘ gerleri verilerek m’ye
bölümünden kalanlar hesaplanır. 1 kalanı bulununcaya
kadar veya periyodik olarak aynı kalanlar elde edilinc-
eye kadar bu i¸sleme devam edilir.
Örne˘ gin, 4 n ? (mod 10) denkli˘ ginde, üs tek ise
kalan 4, çift ise kalan 6’dır. 1111 tek oldu˘ gundan,
4 1111 4 (mod 10) bulunur. Ba¸ska bir örnek olarak
da, 3 1111 ? (mod 5) için, 3’ün kuvvetleri incelenirse,
4
3 1 (mod 5) oldu˘ gu görülür. Yani, 3’ün üssü 4’ün
Yanıt : Cumartesi, (9 30 4 (mod 7)). katı olursa mod 5’te 3 kalanı elde edilecektir. Buna
göre,
277
3
3 1111 3 4 3 1 277 27 2 (mod 5)
6 günde nöbet tutan bir asker, 12’inci
nöbetini cuma günü tutuyor. Buna göre, 25’inci bulunur.
nöbetini hangi gün tutar?
c) Bazen taban yani a sayısı negatif hale de getirilerek
daha çabuk hesaplanabilir.
Örne˘ gin,
2222 1111 ? (mod 9)
denkli˘ gini,
8 1111 ( 1) 1111 = 1 8 (mod 9)
¸ seklinde hesaplayabiliriz.
Yanıt : Cumartesi, (13 6 1 (mod 7)):
