Page 126 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 125
p
q
53 5 (mod m) denkli˘ gini sa˘ glayan 1’den p + q sayısının asal olmasını sa˘ glayan
büyük kaç m pozitif tamsayısı vardır? kaç (p; q) asal sayı sıralı ikilisi vardır? (U ˙ IMO -
2001)
53 5 (mod m) ise
q
m j 53 5 = 48 p ve q asal sayılar oldu˘ gundan ve p + q p
q
toplamının da asal olmasını istedi˘ gimiz için; p veya
olmalıdır. Yani, m sayısı 48’in böleni olması gerekir. p
q toplamlarından biri tek biri çift olmalıdır. Bu ise p
48’in pozitif bölen sayısını bulalım.
veya q’nun birinin çift olmasını yani çift olan tek asal
4
48 = 2 3 sayı 2 olmasını gerektirir.
e¸sitli˘ gine göre, 48’in
(4 + 1) (1 + 1) = 10 q 2
p = 2 olsun: 2 + q ifadesinin asal olması için; q = 3
pozitif böleni vardır. 1’i çıkarırsak, 10 1 = 9 tane m alınırsa;
pozitif tamsayısı bulunur. 3 2
2 + 3 = 17
oldu˘ gundan; (2; 3) ve (3; 2) birer çözümdür.

¸ Simdi ba¸ska çözüm olmadı˘ gını gösterelim. q tek sayı
oldu˘ gundan, q = 2k + 1 formunda yazılabilir. 3’ten
büyük bir tek sayının karesinin 3’e bölümünden kalan
1’dir. Buna göre; q = 2k + 1 > 3 için,
n
2 + 27 sayısı 7’ye bölünecek ¸sekilde 2 2k+1 + (2k + 1) 2 + 1 0 (mod 3)
2
100’den küçük kaç pozitif n tamsayısı vardır?
2
q
bulunur. Yani, 2 + q ifadesi q > 3 için daima 3’e tam
bölünecek ve asal sayı olmayacaktır.
2 1 2 (mod 7) ;
2 2 4 (mod 7) ;
2 3 1 (mod 7)
oldu˘ gundan; n sayısı 3’ün bir katı olursa,
n
2 + 27 1 + 27 0 (mod 7)
n
olur. n = 3; 6; 9; :::; 99 için, 2 + 27 sayısı 7’ye
bölünece˘ ginden, 33 tane n pozitif tamsayısı vardır.

n
n pozitif bir tamsayı ise; 3 ’nin 32’ye
n
5 + 1 sayısı 9’a bölünecek ¸sekildeki üç bölümünden kalan, 1, 11, 15 ve 25 sayılarından
basamaklı en küçük sayı kaçtır? hangisi olamaz? (U ˙ IMO - 2003)
n
3 ifadesinin 32’ye bölümünden elde
edilebilecek kalanları n de˘ gerlerine göre inceleyelim.
1
3 3 (mod 32) ;
2
3 9 (mod 32) ;
3
3 27 ( 5) (mod 32) ;
4
3 15 17 (mod 32) ;
5
3 45 19 (mod 32) ;

6
3 3 3 2 25 (mod 32) ;
7
3 11 (mod 32) ;
8
3 1 (mod 32)
Yanıt : 6 17 + 3 = 105; (n = 6k + 3 formunda olmalıdır.) oldu˘ gundan; kalanlar 3; 9; 27; 17; 19; 25; 11 ve 1
olabilir. 15 olamaz.